Каталог :: Математика

Лекция: Математический анализ

     1.Счетные и несчетные множества. Счетность множества рациональных чисел.
     Множество - совокупность некоторых объектов
     Элементы множества - объекты составляющие множество
     Числовые множества - множества элементами которых являются числа.
     Задать множество значит указать все его элементы:
     1 Способ:  А={а: Р(а)} эти записи    Читать- множество тех а таких что...
A={а-Р(а)} равноценны
Р(а) - предикат = высказывание об элементе, бывает ложно или истинно по
отношению  к кокретному элементу. Множество А состоит из тех а для  которых
предикат истина.
     2 Способ:   Конструирование из других множеств:
AÚB = {c: cÎA Ú cÎB}, AÙB = {c: cÎA
Ù cÎB}, A\  B = {c: cÎA Ù сÏB}
U - универсальное множество (фиксированное)
U³A; U \  A = A’ = cA (A’ - дополнение множества A)
     Свойства:
1. AÚ(BÚC)=(AÚB) ÚC - ассоциативность;
AÚB=BÚA - коммутативность; AÚÆ=A; AÚU=U
2. AÚ (BÙC)=(AÚB) Ù(AÚC) & AÙ (BÚC)=(AÙB) Ú(AÙC) - дистрибутивность; АÙÆ=А
A” =A - закон исключающий третьего (AÚB)’=A’ÙB’;
(AÙB)’=A’ÚB’; AÙA’= Æ
     Иллюстрация свойств: Диаграммы Эйлера-Венна.
"=>" cÎ(AÚB)’ => cÏAÚB => cÏA & cÏB => cÎ A’ & cÎB’ => cÎA’ÙB’
"<=" cÎA’ÙB’ => cÎA’ & cÎB’ => cÏA & cÏB => cÏAÚB => cÎ(AÚB)’
     Отображение  множеств:
f:A®B (на множестве А задано отображение f со значением множества B)
aÎA; bÎB => b - образ элемента а при отображении f; a - прообраз
элемента b при отображении f
Так как для каждого элемента  из А ставится в соответствие элемент из В, значит
А - область определения (Dom f=А), а область значенийB (Im f £B)
Для отображения задают: 1) способ  2) Dom  3) Im
     Отображение f  инъективно если f(x)=f(x’) => x=x’(разные переходят в разные)
     Отображение f сурьективно если Im f =B(каждый переходит в каждый)
Если же отображение инъективно+сурьективно, то множества равномощны(содержат
одинаковое кол-во элементов), а отображение биективно - взаимооднозначно.
     Счетные множества - множества равномощные множеству натуральных чисел (N)
     Теорема: Множество Q счетно.
Докозательство: Q=
     Лемма 1: " nÎN Z/n - счетно.
Каждому элементу из N надо взаимноднозначно сопоставить элемент Z/n:
10®0/n    5®-2/n
2®+1/n    6®+3/n
3®-1/n     7®-3/n
4®+2/n    ...
     Лемма 2: Объединение счетного или конечного(не более чем счетного)  числа
счетных множеств - счетно.
А1={а11, а12, а13,...}
А2={а21, а22, а23,...}
А3={а31, а32, а33,...}
...
Применяем диагональную нумерацию (а11 - 1; а21 - 2; а
12 - 3; а31 -  4;  а22 - 5...)  и таким образом
взаимнооднозначно сопоставляем каждому элементу из  таблицы его номер, значит
объединение счетного или  конечного  числа  счетных  множеств - счетно.
Часть может быть равномощна целому:  (-1,1)  равномощен R (через
полуокружность и лучи)
Из Леммы1 и Леммы 2 получаем: Множество рациональных чисел счетно
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     2. Определение действительного числа бесконечной десятичной дробью.
Плотность Q в R.
     Действительные числа - множество чисел вида [a0],а1 
a2 а3... где а0ÎZ а123,... Î{0,1,...,9}
Действительное число представляется в виде суммы целой и дробной части:
[ао],а1 а2 а3...ак (0) =
ао + а1/10 + а2/100 + ... +ак/10
k = [ао],а1 а2 а3...а’к 
(9), где а’кк-1
х=[хо],х1 х2 х3...хк...
у=[уо],у1 у2 у3...ук...
х’к - катое приближение икса с недостатком = [хо],х1 х2 х3...хк
у”к - катое приближение игрека с избытком = [уо],у1 у2 у3...ук + 1/10k
х’к+1 > х’к  (х’к - монотонно растет)
у”к+1 £ у”k (у”k - не возрастает), т.к. у”к=[уо],у1 у2 у3...ук + 1/10к
у”к+1 = [уо],у1 у2 у3...ук ук+1 + 1/10к+1
у”к - у”к+1 = 1/10к - ук+1 + 1/10к+1 ³ 0
10 - ук+1 - 1 / 10к+1 ³ 0
9 ³ ук+1
     Определение: 1) х > у <=> $ к: х’к > у”к
2) х = у <=> х’к не> у”к & у”к не> х’к
По определению получаем, что [1],(0)=[0],(9)
     Свойства: 1)" х, у либо х<у, либо х>у, либо х=у
2) х>у & у>z => х>z
3) х не> х
Док-во (2):  х>у
у>z
х’к>у”к                                                             у’m>z”m
                                                   n=max{k;m}
х’n³х’к>у”к³у”n                                  у’n³
у’m>z”m³z”n
у”n>у’n => х’n>z”n
     Определение: Если АÌR и " х,уÎR $ аÎА: х<а<у, то А плотно в R
     Теорема: Q плотно в R.
Доказательство: х > у   х’к > у”к   х ³ х’к    у”к ³ у
х ³ х’к / 2 + х’к / 2 > х’к / 2 + у”к / 2 > у”к / 2 + у”к / 2 > у
Видим: х > х’к / 2 + у”к / 2 > у, где (х’к / 2 + у”к / 2)ÎQ
     3.Несчетность множества действительных чисел.
     Теорема: R несчетно.
Доказательство от противного:
1«х1=[х1], х11 х12 х13... |
2«х2=[х2], х21 х22  х23... |  Пусть здесь нет девяток в периоде
3«х3=[х3], х31 х32 х33... |
...                       |  (*)
к«хк=[хк ], хк1 хк2  хк3... |
...                       |
Найдем число которого нет в таблице:
с=[с], с1 с2 с3...
[с]¹[х1]         => с¹х1
с1 Ï {9;х21}   => с¹х2
с2 Ï {9;х32}   => с¹х3
...
ск Ï {9;хк+1к} => с¹хк
Таким образом С - число которое отсутствует в таблице (*)
     5.Теорема Дедекинда о полноте R
Пусть  1) 0¹АÍR; 2) " aÎA, " bÎB: а<b; 3) АÈB=R, тогда $! сÎR: " aÎA, " bÎB: а£с£b
     Замечания: 1) для Q и I не выполняется (между двумя иррациональными
всегда одно рациональное следует из теоремы о плотности Q в R)
2) А называют нижним множеством сечения (нижний класс), В называют верхним
множеством сечения (верхний класс)
Доказательство:
" aÎA, " bÎB: а<b => A ограничено сверху => $ SupA=m =>
"bÎB: b³m => B ограничено снизу =>$ InfB=n, m£n
     Докажем, что m = n:
Пусть m<n, тогда из теоремы о плотности Q в R следует, что $ сÎQ:
m<c<n => cÏА & cÏВ - невозможно по свойству 3 отсюда и
из того, что m£n
следует, что m=n если обозначим m=n через c, то получим а£с£b
Докажем, что с единственное(от противного):
Пусть $с’¹с,с’>с (с’<с), так как c=n=InfB=m=SupA=>по опр-нию.
"с’>с (с’<с) найдется такое b(a), что b<c’ (a>c’)-противоречие с
"aÎA, "bÎB: а£с£b
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     8.Лемма о зажатой последовательности (Лемма о двух милиционерах)
Если $n0: "n>n0 xN£yN
£zN и $ Lim xN=x, $ Lim zN=z, причем x=z,
то $ Lim yN=y => x=y=z.
Доказательство: "n>n0 xN£yN£zN
Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ xNÎ(х-Е,х+Е)
& $ n”: "n>n” zNÎ(х-Е,х+Е) => "n>max{n0
,n’,n”} yNÎ(x-E,x+E)
     4. Верхние и нижние грани числовых множеств.
     Определение: АÌR mÎR, m - верхняя (нижняя) грань А, если  " аÎА а£m (а³m).
     Определение: Множество A ограничено сверху (снизу), если существует такое
m, что " аÎА, выполняется а£m (а³m).
     Определение: SupA=m, если 1) m - верхняя грань A
2) " m’: m’<m => m’ не верхняя грань A
InfA = n,  если 1) n - нижняя грань A
2) " n’: n’>n => n’ не нижняя грань A
     Определение: SupA=m называется число, такое что: 1) " aÎA a£m
2) "e>0 $ aEÎA, такое, что aE>a-e
InfA = n называется число, такое что: 1) 1) " aÎA a³n
2) "e>0 $ aEÎA, такое, что aE<a+e
     Теорема: Любое, непустое ограниченное сверху множество АÌR, имееет
точную верхнюю грань, причем единственную.
Доказательство:
Построим на числовой прямой число m и докажем что это точная верхняя грань А.
[m]=max{[a]:aÎA} [[m],[m]+1]ÇA¹Æ=>[m]+1 - верхняя грань A
Отрезок [[m],[m]+1] - разбиваем на 10 частей
m1=max[10*{a-[m]:aÎA}]
m2=max[100*{a-[m],m1:aÎA}]
...
mк=max[10K*{a-[m],m1...mK-1:aÎA}]
[[m],m1...mK, [m],m1...mK + 1/10
K]ÇA¹Æ=>[m],m1...mK +  1/10
K  -  верхняя грань A
Докажем, что m=[m],m1...mK - точная верхняя грань и что она единственная:
"к: [m’K,m”K)ÇA¹0; "к "аÎА: а<m”K
     Единственность(от противного):
аÎА, пусть а>m”K => $ к: а’K>m”K 
=> а³а’K>m”K - это противоречит ограниченности
=> a£m
     Точная верхняя грань:
Пусть l<m, тогда $ к: m’K>l”K, но так как "к [m’
K,m”K) ÇA¹0 => $ аÎ[m’K,m”
K) => а>l =>l - не верхняя грань.
     Теорема: Любое, непустое ограниченное снизу множество АÌR, имееет
точную нижнюю грань, причем единственную.
Рассмотрим множество B{-а: аÎА}, оно ограничено сверху и не пусто => $ -SupB=InfA
     6.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Их свойства.
     Определение: Последовательность аN называется
бесконечно малой (бм) если ее предел равен нулю ("Е>0 $ n0:
n>n0N|<Е)
     Теорема: Сумма (разность) бм последовательностей является бм
последовательностью.
Доказательство: Пусть Lim aN=Lim bN=0, cN=a
N+bN, dN=aN-bN. Так как вне
любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности окрестности Е/2) лежит
конечное число членов последовательности aN, т.е. $ n’:
"n>n’: |aN|<Е/2. Аналогично $ n”: "n>n”: |bN
|<Е/2. При n>max{n’,n”} выполнены оба неравен ства |aN|<Е/2
& |bN|<Е/2 => при любом n> max{n’,n”} имеем: |cN
|=|aN+bN|£|aN|+|bN|<E/2 +
E/2 = E => |dN|=|aN-bN| £ |aN
|+|bN|<E/2 + E/2 = E
     Теорема: Произведение бм и ограниченной последовательности - бм
последовательность.
Доказательство: Пусть aN - бм посл-ть, bN - ограниченная посл-ть zN=aN*bN.
Т.к. bN - ограниченная посл-ть, значит $ такое с: |bN|£с¹0
Т.к. aN - бм посл-ть, значит вне любой Е-окрестности точки 0 (в
частности Е/с)лежит конечное число членов посл-ти aN, т.е. $ n0
: "n>n0  |aN|<Е/с.Таким образом "n>n0:
|zN|=|aN*bN|=|aN|*|bN
|<Е/с * с=Е
     Следствие: произведение бм посл-тей - тоже бм посл-ть
     Теорема: Пусть aN - бм. Если $ n’: "n>n’ последовательностьть |bN|£aN => bN - бм
Доказательство: aN - бм => $ n”: "n>n”:  |aN|<Е. Для  n>=max{n’,n”} |bN|£|aN|<Е
     Определение: Последовательность аN называется бесконечно
большой (бб) если "Е>0 $ n0: n>n0N
|>Е)
     Теорема: Если aN - бм, то 1/aN - бб последовательностьть, обратное тоже верно.
Доказательство:
"=>" aN-бм=>вне любой эпсилон-окрестности точки 0 (в частности
1/Е) находится конечное число членов посл-ти, т.е. $n0: "n>n
0 |aN|<1/E =>1/|aN|>Е.
"<=" 1/|aN| - бб последовательность => "Е>0 $ n0: "n>n0 1/|aN|>1/Е => |aN|<Е
     Теорема: Пусть aN - бб. Если $ n’: "n>n’ последовательность
bN³|aN| => bN - бб.
Доказательство: aN - бб => $ n”: "n>n” |aN|>Е. Для n>max{n’,n”} bN³|aN|>Е
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     7.Арифметика пределов
     Предложение: Число а является пределом последовательности a
N если разность aN-a является бм (обратное тоже
верно)
Докозательство: Т.к. Lim aN=a, то |aN-a|<Е. Пусть aN=aN-a. |aN|=|aN-a|<Е
Обратное: Пусть aN=aN-a, т.к. aN - бм => |aN|£Е. |aN|=|aN-a|<Е
     Теорема: Если Lim xN=x, Lim yN=y, то:
1.      $ Lim (xN+yN) и Lim (xN+yN)=х+у
2.      $ Lim (xN*yN) и Lim (xN*yN)=х*у
3.      "n yN¹0 & y¹0 => $ Lim (xN/yN) и Lim(xN/yN)=х/у
Доказательство:
Пусть xN=х+aN, aN - бм; yN=у+bN, bN - бм
1) (xN+yN)-(х+у)=aN+bN (По теореме о
сумме бм: aN+bN - бм => (xN+yn
)-(х+у)-бм, дальше по предложению)
2) xN*yN - х*у = х*aN+у*bN+aN
*bN (По теоремам о сумме бм посл-тей и * бм посл-тей на огр. посл-ти
получаем: xN*yN - х*у - бм, дальше по предл-нию)
3) xN/yN - х/у = (у*aN-х*bN) /
(у*(у+bN))= (у*aN-х*bN) * 1/у * 1/уN  
доказательство сводится к доказательству утверждения: если уn -
сходящаяся не к 0 посл-ть, то 1/уN тоже сходящаяся
последовательность: Lim уN=y => по определению предела получаем $
n0: "n>n0 |уn-у|<у/2 (Е=y/2), что равносильно
неравенству: у-у/2<уN<у/2+у, откуда  получаем: |уN
|³уN>у/2.|уN|>у/2=>1/|уN|<2/у
=> "n: 1/|уN|£max{2/у, 1/у1, 1/у2
,...1/уno}
     Теорема: Если хN сходится к х, yN сходится к у и $
n0: "n>n0 последовательность хN£у
N, то х£у
Доказательство(от противного): Пусть х>у. Из опр. предела "E>0 (в
частности Е<(у-х)/2): $n’: "n>n’ |xN-x|<E и $n”: "n>n”
|yN-y|<E. Получаем "n>max{n’,n”} все члены посл-ти xN 
будут лежать в Е-окрестности точки х, а все члены посл-ти уN будут
лежать в Е-окрестности точки у, причем
(х-Е,х+Е)Ç(у-Е,у+Е)=Æ. И т.к мы предположили, что х>у, то
"n>max{n’,n”}: хNN - противоречие с условием
=> х£у.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     5. Определение предела последовательности и его единственность.
     Определение: Пусть даны два множества Х и У. Если  каждому  элементу
хÎХ сопоставлен по определенному правилу некоторый элемент уÎУ, то
говорят, что на множестве Х определена функция f и пишут f:Х®У или х® (f(х)|
хÎХ).
     Определение: Последовательность-это ф-ция определенная на мн-ве N, со
значениями во мн-ве R f:N®R. Значение такой ф-ции в (.) nÎN обозначают а
N.
     Способы задания:
1) Аналитический: Формула общего члена
2) Рекуррентный: (возвратная) формула: Любой член последовательности начиная с
некоторого выражаетс через предидущие. При этом способе задани обычно указывают
первый член (или нсколько начальных членов) и формулу, позволющкю определить
любой член последовательности через предидущие. Пример: а1=а; а
N+1N + а
3) Словесный: задание последовательности описанием: Пример: аN = n-ый
десятичный знак числа Пи
     Определение: Число а называется пределом последовательности а
N, если "e>0 $ n0: "n>n0 выполняется
неравенство |аN-a|<e. Обозначение Lim aN=a.
Если не существует числа а, являющегося пределом посл-ти, то говорят что
последовательность расходится, если существует, то сходится (к числу а
).
Геометрически существование предела последовательности означает, что любой
интервал вида (а-e,а+e), называемый эпсилон-окрестностью точки  а,
содержит все члены последовательности аN начиная с
некоторого номера, или что то же самое, вне любой эпсилон-окрестности точки 
а находится ко нечное число членов последовательности аN.
     Определение: Число а назывется пределом посл-ти аN 
если вне всякой окрестности точки а содержится конечное число членов
последова тельности.
     Теорема: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.
Доказательство(от противного):
Пусть последовательность аN имеет предел а и предел 
с, причем а¹с. Выберем такой эпсилон, чтобы пересечение
эпсилон-окрестностей точек а и с  бы ло пусто. Очевидно
достаточно взять эпсилон меньше |а-с|/2. Вне окрестности точки а
содержится конечное число  членов  последовательности => в ок рестности
точки с содержится конечное число членов последовательности - противоречие с
условием того, что с - предел последовательности.
     Теорема: Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство:
Пусть последовательность аN сходится к числу а.
Возьмем какое-либо эпсилон, вне эпсилон-окрестности точки а лежит конечное
число членов последо вательности, значит всегда можно раздвинуть окрестность
так, чтобы все члены последовательности в нее попали, а это и означает что
последователь ность ограничена.
     Замечания: 1) Обратное не верно (аn=(-1)N, ограничена но не сходится)
2) Если существует предел последовательности аN, то при
отбрасывании или добавлении конечного числа членов предел не меняется.
     Порядковые свойства пределов:
     Теорема о предельном переходе: Если Lim xN=x, Lim yN=y, $n0: "n>n0 хN£yN, тогда x£y
Доказательство(от противного):
Пусть х>у => по определению предела $ n0’: "n>n0’
|хN-х|<E(берем Е<|х-у|/2): & $ n0”: "n>n
0” |yN-y|<E. "n>max{n0’, n0”}: |х
N-х|<|х-у|/2 & |уN-у|<|х-у|/2, т.е. получаем 2
интервала (у-Е,у+Е) & (х-Е,х+Е)], причем
(у-Е,у+Е)Ç(х-Е,х+Е)=Æ. "n>max{n0’, n0”} х
NÎ(х-Е,х+Е) & уNÎ(у-Е,у+Е) учитывая, что х>у
получаем: "n>max{n0’, n0”} хN>yN 
- противоречие с условием.
     Теорема: Если $n0: "n>n0 aN£b
N£cN и $ Lim aN=a, $ Lim cN=c,
причем a=c, то $ Lim bN=b => a=b=c.
Доказательство: Возьмем произвольно Е>0, тогда $ n’: "n>n’ => cN
<(a+E) & $ n”: "n>n” => (a-E)<aN. При n>max{n
0,n’,n”} (a-E)<aN£bN£cN
<(a+E), т.е. " n>max{n0,n’,n”}=>bN
Î(a-E,a+E)
     9. Предел монотонной последовательности
     Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей
(убывающей) если " n1>n2 (n1<n2
): xN1³xN2 (xN1£xN2).
     Замечание: Если xN1 строго больше (меньше) xN2,
тогда  посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае
нестрогости  неравенства последовательность называется нестрого возрастающей
(убывающей).
     Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.
Доказательство:  Пусть хN ограниченная монотонно возрастающая
последовательность. Х={xN: nÎN}
По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем:
$ SupX=x, "Е>0 $xE:  (х-Е)<хE => $ n0 
xNo>(х-E). Из монотон ности имеем: "n>n0 xN
³xNo>(x-E), получили xN£x=SupX, значит
"n>n0 xNÎ(x-E,х]<(x-E,x+E)
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     10.Лемма о вложенных промежутках
     Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 -
называются числовыми промежутками:
1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)
2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток
3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч
4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч
5) Mножество хÎR - числовая прямая
     Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым
концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a
     Лемма: Пусть aN монотонно возрастает, bN монотонно
убывает, "n aN£bN и (bN-aN
)-бм, тогда $! с: "n cÎ[aN,bN] (с Ç[aN
,bN])
Доказательство:
aN£bN£b1 aN монтонно возрастает & aN£b1 => $ Lim aN=a
a1£aN£bN bN монтонно убывает & a1£bN => $ Lim bN=b
aN£a b£bN  aN£bN => a£b
Lim (bN-aN)=b-a=0(по условию)=>a=b
Пусть c=a=b, тогда aN£c£bN
Пусть с не единственное: aN£c’£bN, с’¹с
aN£c£bN=>-bN£-c£-a
N => aN-bN£c’-c£bN-aN 
=> (По теореме о предельном переходе) => Lim(aN-bN
)£Lim(c’-c)£Lim(bN-aN) =>
(a-b)£Lim(c`-c)£(b-a) =>
0£lim(c`-c)£0 => 0£(c`-c)£0 => c’=c => c - единственное.
     Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в
друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка
1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый
последующий содержится в предыдущем, причем длины  этих промежутков стремятся к
0 при n®¥ lim(bN-aN)=0, тогда концы промежутков a
N и bN стремятся к общему пределу с (с разных сторон).
     
     42.Локальный экстремум. Теорема Ферма и ее приложение к нахождению
наибольших и наименьших значений.
     Определение: Пусть задан промежуток I=(a;b), точка x0
Î(a;b). Точка x0, называется точкой локалниого min(max), если
для всех xÎ(a;b), выполняется
f(x0)<f(x) (f(x0)>f(x)).
     Лемма: Пусть функция f(x) имеет конечную производную в точке x0
. Если эта производная f‘(x0)>0(f‘(x0)<0), то для
значений х, достаточно близких к x0 справа, будет f(x)>f(x0
) (f(x)<f(x0)), а для значений x, достаточно близких слева, будет
f(x)<f(x0) (f(x)>f(x0)).
Доказательство: По определению производной,.
Если f‘(x0)>0, то найдется такая окрестность (x0-d,x
0+d) точки x0, в которой (при х¹x0) (f(x)-f(x
0))/(x-x0)>0. Пусть x0<x<x+d, так что х-х
0>0 => из предыдущего неравенства следует, что f(x)-f(x0
)>0, т.е. f(x)>f(x0). Если же x-d<x<x0 и х-х
0<0, то очевидно и f(x)-f(x0)<0, т.е. f(x)<f(x0
). Ч.т.д.
     Теорема Ферма: Пусть функция f(x) определена в некотором промежутке
I=(a;b) и во внутренней точке x0 этого промежутка принимает
наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x) дифференцируема в точке x
0, то необходимо f‘(x0)=0.
Доказательство: Пусть для определенности f(x) принимает наибольшее значение в
точке x0. Предположение, что f‘(x0)¹0, приводит к
противоречию: либо f‘(x0)>0, и тогда (по лемме) f(x)>f(x0
), если x>x0 и достаточно близко к x0, либо f‘(x0
)<0, и тогда f(x)>f(x0), если x<x0 и достаточно
близко к x0. В обоих случаях f(x0) не может быть
наибольшим значением функции f(x) в промежутке I=(a;b) => получили
противоречие => теорема доказана.
     Следствие: Если существует наибольшее (наименьшее) значение функции на
[a;b] то оно достигается либо на концах промежутка, либо в точках, где
производной нет, либо она равна нулю.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     43.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши (о среднем значении).
     Теорема Ролля 
Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] 
2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом
промежутке (a;b)
3) на концах промежутка функция принимает равные значения: f(a)=f(b)
Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что f’(с)=0.
Доказательство: f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и потому, по
второй теореме Вейерштрасса (Если f(x), определена и непрерывна в замкну том
промежутке [a;b], то она достигает в этом промежутке своих точных верхней и
нижней границ), принимает в этом промежутке как свое наибольшее значение M,
так и свое наименьшее значение m.
Рассмотрим два случая:
1) M=m. Тогда f(x) в промежутке [a;b] сохраняет постоянное значение: неравенство
m£f(x)£M в этом случае "x дает f(x)=M => f’(x)=0 во всем
промежутке, так что в качестве с можно взять любую точку из (a;b).
2) M>m. По второй теореме Вейерштрасса оба эти значения функцией достигаются,
но, так как f(a)=f(b), то хоть одно из них достигается в некоторой точ ке с 
между a и b. В таком случае из теоремы Ферма (Пусть функция f(x)
определена в некотором промежутке I=(a;b) и во внутренней точке x0 
этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если функция f(x)
дифференцируема в точке x0, то необходимо f‘(x0)=0)
следует, что произ водная f’(с) в этой точке обращается в нуль.
     Теорема Коши:
Пусть 1) f(x) и g(x) непрерывны в замкнутом промежутке [a;b] & g(b)¹g(a)
2) сущестуют конечные производные f’(x) и g’(x), по крайней мере в отткрытом
промежутке (a;b)
3) g’(x)¹0 в отткрытом промежутке (a;b)
Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что 
Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию h(x)=[f(x) - f(a) -
*(g(x) - g(a))]
Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:
1) h(x) непрерывна на [a;b], как комбинация непрерывных функций
2) сущестует конечная производная h’(x) в (a;b), которая равна h’(x)=f’(x) -
*g’(x)
3) прямой подстановкой убеждаемся h(a)=h(b)=0
Вследствие этого в промежутке (a;b) существует такая точка с, что
h’(x)=0 => f’(c) -
*g’(c) или f’(c) =
*g’(c).
Разделив обе части равенства на g’(x) (g’(x)¹0) получаем требуемое
равенство.
     Теорема Лагранжа:
Пусть 1) f(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] 
2) сущестует конечная производная f’(x), по крайней мере в отткрытом
промежутке (a;b)
Тогда между a и b найдется такая точка c(a<c<b), что 
Доказательство: По теореме Коши, полагая g(x)=x, имеем: 
Промежуточное значение с удобно записывать в виде с=а+q(b-a), где
qÎ(0;1). Тогда принимая x0=a, (b-a)=h, мы получаем следующее
следствие:
     Следствие: Пусть f(x) дифференцируема в интервале I=(a;b), x0
ÎI, x0+hÎI, тогда $ qÎ(0;1): f(x0+h)-f(x
0)=f’(x0+qh)*h ([x0;x0+h] h>0, [x
0+h;x0] h<0)
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     11. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
     Определение: Пусть аN некоторая числовая посл-ть и kN
-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате  композиции ф-ций n®aN 
и n®kN получа ем посл-ть aKn-которая наз. подпосл-тью
посл-ти aN=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная
посл-ть, из которой выбросили часть членов.
     Теорема: Если Lim аN=а, то и Lim аKn=а.
Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число
членов последовательности аn и в частности последовательности.
Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0: "n>n0N-а|<Е, ввиду того что kN®¥ существует и такое
n’, что при всех n>n’ kN>n0 тогда при тех же
значениях n будет верно |аKn-а|<Е
     Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной  последовательности
можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство: хN - ограничена => "n: а£хN
£b. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине
содержится бесконечное множество  членов посл-ти хN (в противном
случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что
невозможно). Пусть  [а1,b1] - та половиа, которая
содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а
1,b1] промежуток [а2,b2] также содержащий
бесконечное число членов посл-ти хN. Продолжая процесс до
бесконечности на к-том шаге выделим промежуток [аK,bK
]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти хN.
Длина к-того промежутка равна bKK = (b-a)/2
K, кроме того она стремится к 0 при к®¥ и аK³аK+1  
& bK£bK+1. Отсюда по лемме о вложенных
промежутках  $! с: "n аN£c£bN.
Теперь построим подпоследовательность:
хN1 Î[а1,b1]
хN2 Î[а2,b2] n2>n1
. . .
хNKÎ[аK,bK] nK>nK-1
а£хNk£b. (Lim aK=LimbK=c из леммы о вложенных промежутках)
Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk=c - ч.т.д.
     12.Верхний и нижний пределы последовательности.
xN - ограниченная последовательность =>"n аN£хN£bN
хNK®х, так как хNK-подпоследовательность => "n а£хN£b =>а£х£b
х   - частичный предел последовательности хN
Пусть М - множество всех частичных пределов.
Множество М ограничено (а£М£b) => $ SupM & $ InfM
Верхним пределом посл-ти xN называют SupM¹Sup{xN}: пишут Lim xN
Нижним предел ом посл-ти xn называют InfM¹Inf{xN}: пишут lim xN
Cуществование нижнего и верхнего пределов вытекает из определения.
Достижимость:
     Теорема: Если хN ограничена сверху (снизу), то $ подпосл-ть х
NK: предел которой равен верхнему (нижнему) пределу хN.
Доказательство: Пусть х=SupM=верхний предел хN
$ х’ÎМ: х-1/к<х’ (следует из того что х - SupМ), т.к. х’ÎМ =>
$  подпоследовательность хNS®х’ => "Е>0  (в частности  Е=1/к)
$ s0: "s>s0 =>
х’-1/к<хNS<х’+1/к
х -1/к-1/к<х’-1/к<хNS<х’+1/к<х+1/к (т.к.х-1/к<х’ и х’<х=SupМ)
х-2/к<хNS<х+1/к
Берем к=1: х-2<хNS<х+1, т.е $ s0: "s>s0 
это неравенство выполняется берем член посл-ти хNS с номером больше s
0 и нумеруем его хN1
k=1: х-2/1<хN1<х+1/1
k=2: х-2/2<хN2<х+1/2  n1<n2
...
k=k: х-2/к<хNK<х+1/к  nK-1<nK
При к®¥ хNK®х
     13.Фундаментальные последовательности.
     Определение: Последовательность {аN} - называется
фундаментальной, если "Е>0 $ n0: "n>n0 и любого
рÎN выполнено неравенство |аN+р-аN|<Е.
Геометрически это означает что "Е>0 $ n0, такой что расстояние
между любыми двумя членами посл-ти, с большими чем n0 номерами,
меньше Е.
     Критерий Коши сходимости посл-ти: Для того, чтобы данная посл-ть
сходилась необходимо и достаточно, чтобы она  являлась фундаментальной.
Доказательство:
Необходимость: Пусть Lim xN=x, тогда "Е>0 $ n0: "n>n
0N-х|<Е/2. n>n0, n’>n0
NN’|=|хN-х+х-хN’|<|хN
-х|+|х-хN’|<Е/2+Е/2<Е
Достаточность: Пусть хN - фундаментальная
1) Докажем что хN ограничена: Е1=1998 $ n0: |хNN’|<Е, n>n0, n’>n0
"n>n0NN0|<Е1  х N0-1998<хNN0+1998 => хN - ограничена
2) По теореме Больцано-Вейерштрасса
$ подпосл-ть хNK®х. Можно выбрать к настолько большим, чтобы
|хNK-х|<Е/2 и одновременно nк>n0.
Следовательно (из фунд-ти) |хNNK|<Е/2 =>
|хNK-х|<Е/2 => х-Е/2<хNK<х+Е/2 => |хNNK|<Е/2 => хNK-Е/2<хNNK+Е/2 => х-Е<хN<х+Е => |хN-х|<Е
     
     
     
     
     
     
     
     
     14.Бином Ньютона для натурального показателя.Треугольник Паскаля.
Формула Ньютона для бинома:
     nÎN
     
     
     
            Разложение Паскаля
            (Записав коэффициенты в виде пирамиды - получим треугольник Паскаля)
...
     
     *: к=0,1,...,n
Доказательство(по индукции):
1) n=0 - верно (1+х)0=1 =>(1+х)0 =
2) Пусть верно для n: докажем что это верно и для n+1:
     = 
     
      Ч.т.д
     
     16.Последовательности  (во всех пределах n®¥)
1) Lim= 0 (p>0)
      - это  означает  что,  мы  нашли  такое n0=: "n>n0 ||<E
2) Lim=1
xN= - 1
     =1+xN
n=(1+xN)n
n=
xN2<2/(n-1)
     При n®¥ ®0  => xN®0  (Лемма о зажатой последовательности)=>Lim=Lim (1+xN)=1+0=1
     16.Последовательность (1+1/n)n и ее предел.
xN=; yN=; zN=yN +
xN монотонно возрастает: докажем:
     
     
     
xN=(1+1/n)n=1+ n/1!*1/n + n*(n-1)/2!*1/n2 +...
< 1 + 1/1! + 1/2!+...+1/n! = yN => yN<zN
<3
Воспользуемся неравенством Бернулли (1+x)n³1+nx, x>-1)
(доказывается по индукции):
x=1/n => (1+1/n)n³1+n/n=2
Получили: 2 £ xN<3 => xN - ограничена,
учитывая что xN - монотонно возрастает => xN -
сходится и ее пределом является число е.
     
     
     
     
     
     
     
     
     17. Последовательности (во всех пределах n®¥)
1) Lim=1, a>0
a) a³1:
xN=xN+1==> $ Lim xN=x
xN+1=xN *
xN=xN+1 *
xN=xN+1*xN*(n+1)
Lim xN=Lim (xN+1*xN*(n+1)) => x = x*x => x = 1
б) 0<a<1 b=1/a  xN=
Lim=1 b=1/a =>= 1/=> Lim= 1/1 = 1
2) Lim = 0, a>1
xN=xN+1=
     т.к. Lim= Lim=Lim=1
     => $ n0: "n>n0 xn+1/xn<1 => СТ x=limxn
xN+1=xN*
Lim xN+1 = Lim xN* => x = x*1/a => x=0
Докажем, что если xN®1 => (xN)a®1:
a) "n: xN³1 и a³0
(xN) [a]£(xN)
a<(xN)[a]+1 => по лемме
о зажатой посл-ти, учитывая что Lim (xN)[a
]=Lim (xN)[a]+1=1 (по теореме
о Lim произведения) получаем Lim (xN)a =1
б) "n: 0<xN<1 и a³0
yN=1/xN => yn>1 Lim yN=lim1/xN
=1/1=1 => (по (а)) Lim (yN)a =1 => lim 1/(xN
)a =1 => Lim (xN)a =1
Объединим (а) и (б):
xN®1 a>0
xN1,xN2,...>1    (1)
xM1,xM2,...<1   (2)
Вне любой окрестности точки 1 лежит конечное число точек (1) и конечное число
точек (2) => конечное число точек xN.
в) a<0
(xN)a =1/(xN)- a  a<0 =>
-a>0 => по доказанному для a>0 получаем, Lim 1/(xN)- a 
= 1 => Lim (xN) a = 1
     15. Доказательство формулы e=...
yN=; zN=yN +
1) yN монотонно растет
2) yN<zN
3) zN-yN®0
4) zN монотонно убывает
Доказателство:
zN-zN+1 = yN + - yN+1 -= +-=
2=y1<yN<zN<z1=3
     e = Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных
промежутках имеем: yN<e<zN = yN +
1/(n*n!)
Если через qN обозначить отношение разности e - yN  
к числу 1/(n*n!), то можно записать e - yN = qN
/(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением получаем e = y
N + qN/(n*n!), qÎ(0,1)
Число e иррационально:
Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mÎZ, nÎN
m/n = e = yN + qN/(n*n!)
m*(n-1)!= yN*n! + qN/n, где (m*(n-1)! & yN*n!)ÎZ, (qN/n)ÏZ => противоречие
     23. Определения предела функции по Коши и по Гейне. Их эквивалентность.
     Определение по Коши: f(x) сходится к числу А при х®х0 если
"Е>0 $d>0: 0<|х-х0|<d & хÎDf =>
|f(x)-А|<Е
     Определение по Гейне: f(x) сходится к числу А при х®х0 если "
последовательности хN®х0, хN¹х0 
f(xN)®А
     Теорема: Два определения эквивалентны:
Д-во: Для эквивалентности определений достаточно доказать, что из сходимости
по Коши следует сходимость по Гейне и из сходимости по Гейне  следует
сходимость по Коши.
1) (К)=>(Г)
"Е>0 $d>0: 0<|х-х0|<d & хÎDf => |f(x)-А|<Е - определение Коши
хN®х0, хN¹х0, т.к. хN
®х0 => $ n0: "n>n0 0<|xN-x
0|<Е (Е=d) => 0<|xN-x0|<d => по
определению Коши |f(xN)-А|<Е
2) (Г)=>(К) Воспользуемся законом логики: Если из отрицания B следует
отрицание А, то из А следует В:
Таким образом нам надо доказать что из отрицания (К) => отрицание (Г)
Отрицание (К): $ Е>0: "d >0  $ x: 0<|x-x0|<d => |f(x)-A|³E
Отрицание (Г): $ хN®х0, хN¹х0: |f(xN)-A|³E
$ хN®х0, хN¹х0 => $ n0
: "n>n0 0<|xN-x0|<Е (Е=d) => по
отрицанию определения Коши |f(xN)-А|³Е
Для ф-ции х®f(х) определенной на интервале  (а,+¥), определяется предел при
хN®¥ следующим образом: limf(х) при хN®¥ =
Limf(1/t) t®+0
(если последний существует). Таким же образом определяются Lim f(х) при хN
®-¥ = Lim f(1/t) t®-0 и хN®¥ = lim f(1/t) t®0
     24. Односторонние пределы. Классификация разрывов. Определение непрерывности.
Lim(х0±|h|) при h®0 - называется односторонним правым (левым
пределом) ф-ции f(x) в точке х0
     Теорема: Пусть интервал (x0-d,x0+d)\{x0}
принадлежит области определения ф-ции для некоторго d>0. Тогда Lim f(x) в
точке х0 существует <=> когда cуществуют правый и левый предел
f(x) в точке х0 и они равны между собой.
     Необходимость: Пусть предел f(х) существует и равен А => "Е>0 $ d
>0: -d<х-х0<d => |f(х)-А|<Е, т.е. $ такое d, что как
только х попадает в d-окрестность точки x0 сразу f(х) попадает в
интервал (f(х)-А,f(х)+А). Если х попадает в интервал (0, x0+d) =>
x попадает в интервал (x0-d,x0+d) => f(х) попадает в
интервал (f(х)-А,f(х)+А) => правый предел существует и он равен А. Если х
попадает в интервал (x0-d,0) => x попадает в интервал (x0
-d,x0+d) => f(х) попадает в интер вал (f(х)-А,f(х)+А) => левый
предел существует и он равен А.
     Достаточность: Lim (х0±|h|) при h®0: Lim(х0+|h|) = Lim(х0-|h|)=А
"Е>0 $ d’ >0: 0<х-х0<d’ => |f(х)-А|<Е
"Е>0 $ d” >0: -d”<х-х0<0 => |f(х)-А|<Е
Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d <х-хо<d => |f(х)-А|<Е
     Определение: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0 
если при х®х0 Lim f(х)=f(х0). Заменяя в определениях
предела фнкции по Коши и по Гейне  А на f(х0) получаем определения
по Коши и по Гейне непрерывности ф-ции f(x) в точке х0. Поскольку в
опр-нии по Коши нер-во |f(х)-f(х0)|<Е выполнено и при х=х0 
=> в определении можно снять ограничение х¹х0 => получим
второе равносильное определение:
     Определение 2: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0,
если "Е>0 $d>0: -d <х-хо<d => |f(х)-f(а)|<Е
Аналогично сняв ограничение х¹х0 - получим определение по Гейне:
     Определение 3: Функция f(x) называется непрерывной в точке х0,
если " посл-ти хN®х0, f(xN)®f(a)
Если при х®х0 limf(х)¹f(х0), то говорят что функция
f(x) имеет разрыв в точке х0. Это происходит если:
а) f(х) неопределена в точке х0 
б) Предел f(х) в точке х0 не существует
в) f(х) определена в х0 и limf(х) в точке х0 существует но
равенство Дшь f(х)=f(а) не выполняется
Различают:
1) точки разрыва I рода, для которых существуют конечные односторонние пределы
(либо они неравны друг другу либо равны, но неравны f(х0)
2) точки разрыва II рода - не существует хотя бы один односторонний предел.
Если правый и левый предел в х0 совпадают, то х0 называют
устранимой точкой разрыва.
Если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности, то х0 
- точка бесконечного разрыва.
Пусть x0 - точка разрыва, x0 называется изолированной,
если в некоторой окрестности этой точки других точек разрыва нет.
Если значение правого (левого) предела в точке х0 совпадает со
значением f(x0), то f(x) называется непрерывной справа (слева).
Если предел f(x) справа (слева) в точке х0 не существует, а предел
слева (справа) существует и равен значению f(х0), то говорят что
функция f(x) имеет в точке х0 разрыв справа (слева). Такие разрывы
называют односторонними разрывами f(x) в точке х0.
Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в
каждой точке х этого множества.
     
     
     
     
     
     26. Арифметика пределов функций. Порядковые свойства пределов.
     Теорема: Все пределы в точке х0: Пусть ф-ции f:Х®R и g:Х®R
(ХÍR) таковы, что Lim f(x)=F, Lim g(x)=G, тогда
1)      Lim f(x) ± Lim g(x) = F±G
2)      Lim f(x)*Lim g(x) = F*G
3)      Если G¹0 и g(x)¹0 Limf (x) / Lim g(x) = F/G
Доказательство:
1) "Е>0(в частности Е/2) $d’>0: -d’<х-х0<d’ => |f(х)-F|<Е & $d”>0: -d”<х-х0<d” => |g(х)-G|<Е
Получили "Е>0 $ 0<d=min{d’,d”}: -d<х-х0<d =>-Е/2 -
Е/2<f(х)-F+g(х)-G<Е/2 + Е/2 => |(f(х)+g(х))-(F+G)|<Е
2) Пусть посл-ть хN®х0N¹х0,
xNÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при
n®¥ Lim f(xN)=F & Lim g(xN)=G по теореме об
арифметике пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(xN)*g(x
N)=Lim f(xN)*Lim g(xN)= F*G => по определению
предела по Гейне при х®х0 Lim f(x)*Lim g(x)=F*G
3) Пусть посл-ть хN®х0N¹х0,
xNÎX), тогда в силу определения предела по Гейне имеем: при
n®¥ Lim f(xN)=F & Lim g(xN)=G по теореме об
арифметике  пределов посл-тей получаем: при n®¥ Lim f(xN)/g(x
N)=Lim f(xN)/Lim g(xN)=F/G => по определению
предела по Гейне при х®х0 Lim f(x)/Lim g(x)=F/G, G¹0 и
g(x)¹0.
     Порядковые свойства пределов:
     Теорема: Если " хÎX: f(x)£g(x), при х®х0 A=Lim f(x), B=Lim g(x), то A£B
Доказательство(от противного):
Пусть A>B => из определения предела следует (берем 0<Е<|A-B|/2):
$d’>0: |х-х0|<d’ => |f(x)-A|<E & $d”>0: |х-х
0|<d” => |g(х)-B|<Е.
Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х0|<d =>
|f(x)-A|<|A-B|/2 & |g(х)-B|<|A-B|/2, учитывая что А>В и что
(А-Е,А+Е)Ç(В-Е,В+Е)=Æ, получаем что для
хÎ(х0-d, х0+d) f(x)>g(x) - противоречие с условием.
     Теорема: Если " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) и при х®х0 Lim f(x)=А=Lim h(x), то Lim g(x)=А
Доказательство:
"Е>0 $d’>0: |х-х0|<d’ => A-E<f(x) & $d”>0: |х-х0|<d” => h(х)<A+Е.
Получили, что $ 0<d=min{d’;d”}: |х-х0|<d => A-E<f(x)
& h(x)<A+E, так как " хÎX: f(x)£g(x)£h(x) =>
A-E<f(x)£g(x)£h(x)<A+E => A-E<g(x)<A+E
     27. Непрерывность тригонометрических функций. Предел (Sin x)/x при х®0.
1) Sin x:
Lim Sin x = Sin x0 (при х®х0)
|Sin x-Sin x0|=2*|Sin((x-x0)/2)|*|Cos((x+x0
)/2)| < 2*|(x-x0)/2|=|x-x0| => -|x-x0
|<Sin x-Sin x0<|x-x0| при х®х0 =>
-|x-x0|®0 & |x-x0|®0 => (по теореме о порядковых
св-вах предела) (Sin x-Sin x0)®0
2) Cos x:
Lim Cos x = Cos x0 (при х®х0)
Cos x  = Sin (П/2 - x)  = Sin y; Cos x0 = Sin (П/2 - x0) = Sin y0
|Sin y-Sin y0|=2*|Sin((y-y0)/2)|*|Cos((y+y0
)/2)| < 2*|(y-y0)/2|=|y-y0| => -|y-y0
|<Sin y-Sin y0<|y-y0| при y®y0 -|y-yo|®0
& |y-yo|®0 => (Sin y-Sin y0)®0 => производим обратную
замену: [Sin (П/2 - x)-Sin(П/2 - x0)]®0 => (Cos x-Cos x0
)®0
3) Tg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кÎZ
4) Ctg x - непрерывная ф-ция исключая точки х = Пк, кÎZ
     Теорема: Lim (Sin x)/x=1 (при х®0), 0<x<П/2
Доказательство:
     
Составляем нер-во для площадей двух треугольников и одного сектора (Sсект=х*R
2) откуда и получаем Sinx<x<Tgx, 0<x<П/2. => Cos x <
(Sin x)/x < 1. Используем теорему о порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos
x£Lim (Sin x)/x£1 при x®0, 0<x<П/2. Испльзуем  непрерывность
Сos1£Lim (Sin x)/x£1 => Lim (Sin x)/x =1, 0<x<П/2
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     28.Теорема о промежуточном значении непрерывной функции.
     Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 -
называются числовыми промежутками:
1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)
2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток
3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч
4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч
5) Mножество хÎR - числовая прямая
     Теорема: Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и с - произвольное число лежащее
между f(а) и f(b), тогда существует х0Î[a,b]: f(х0
)=c.
Доказательство: g(х)=f(х)-с (g(x) - непрерывна). g(а)*g(b)<0
Поделим промежуток [a,b] пополам, если в точке деления g((а+b)/2)=0, то полагая
х0=(а+b)/2 видим что теорема доказана (g(х0)=f(х0
)-с=0 => f(х0)=с).  Пусть в точке деления функция g(x) в ноль не
обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот, для которого g(а
1)*g(b1)<0, делим его  пополам если в точке деления функция
g(x) обращается в ноль => теорема доказана. Пусть в точке деления функция
g(x) в ноль не обращается, тогда выбираем из двух полученных промежутков тот
для которого g(а2)*g(b2)<0... продолжая процесс до
бесконечности мы либо получим на каком-либо шаге что ф-ция g(x) обращается в
ноль, что означает что теорема доказана, либо получим бесконечное число
вложенных друг в друга промежутков. Для n-го промежутка [aN
,bN] будем иметь: g(aN)<0, g(bN)>0,
причем длина его равна bN-aN=(b-a)/2n®0 при
n®¥. Построенная посл-ть промежутков удов летворяет условию Леммы о
вложенных промежутках => $ точка x0 из промежутка [a,b], для
которой Lim aN=Lim bN= x0. Покажем, что x
0-удовлетворяет требованию теоремы: g(aN)<0, g(bN
)>0 => переходим к пределам: Lim g(aN)£0, Lim g(bN
)³0, используем условие непрерывности: g(x0)£0 g(x0
)³0 => g(x0)=0 => f(х0)-c=0 => f(х0
)=c
     Следствие: Если функция f(x) непрерывна на промежутке Х, то множество
У=f(Х)={f(х):хÎХ} также является промежутком (Непрерывная ф-ция перево
дит промежуток в промежуток.)
Доказательство: Пусть у12ÎУ; у1
£у£у2, тогда существуют х12
ÎХ: у1=f(х1), у2=f(х2).
Применяя теорему к отрезку [х12]ÍХ  (если х
12) и к отрезку
[х21]ÍХ (если х21)
получаем, что у=f(с) при некотором с => У - удовлетворяет определению
промежутка.
     29. Предел суперпозиции функций. Непрерывность суперпозиции непрерывных функций 
     Определение: Суперпозицией (композицией) двух функций f и g называется
функция f(g(x)) - определенная для всех х принадлежащих области  опреде ления
ф-ции g таких что значения ф-ции g(x) лежат в области определения ф-ции f.
     Теорема: Если Lim g(x)=b (при x®a) и f - непрерывна в точке b, то Lim
f(g(x))=f(b) (при x®a)
Доказательство:
Пусть xN: xN¹a - произвольная посл-ть из области
определения ф-ции х®f(g(x)), сходящаяся к а, тогда последовательность yN
: yN=g(xN) сходится к b в силу опр. по Гейне. Но тогда Lim
f(yN)=f(b) (n®¥) в силу опр. непрерывности ф-ции f по Гейне.
Т.о. Lim f(g(xN))=Lim f(yN)=f(b) (n®¥). Заметим что в
посл-ти yN - некоторые (и даже все члены) могут оказаться равными b.
Тем не менее в силу  нашего замечания о снятии ограничения yN¹b
в определении непрерывности по Гейне мы получаем f(yN)®f(b)
     Следствие: Пусть функция g непрерывна в точке x0, а функция f
непрерывна в точке у0=g(x0), тогда ф-ция f(g(x))
непрерывна в точке х0.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     30. Обращение непрерывной монотонной функции.
     Определение: Функция f обратима на множестве Х если уравнение f(х)=у
однозначно разрешимо относительно  уÎf(Х).
     Определение: Если функция f обратима на множестве Х. То функция
однозначно сопоставляющая каждому уо такое х0 что f(х0)=у
0 - называется обратной к функции f.
     Теорема: Пусть строго возрастающая (строго убывающая) ф-ция f определена
и непрерывна в промежутке Х. Тогда существует обратная функция f’,
определенная в промежутке Y=f(Х), также строго возрастающая (строго
убывающая) и непрерывная на Y.
Доказательство: Пусть f строго монотонно возрастает. Из непрерывности по
следствию из Теоремы о промежуточном значении следует, что  значения
непрерывной функции заполняют сплошь некоторый промежуток Y, так что для
каждого значения у0 из этого промежутка найдется  хоть  одно  такое
значение  х0ÎХ, что f(х0)=у0. Из
строгой монотонности следует что такое заначение может найтись только одно:
если х1> или <х0, то соответственно и f(х1
)> или <f(х0). Сопоставля именно это значение х0 
произвольно взятому у0 из Y мы получим  однозначную функцию: х=f’(у)
- обратную функции f. Функция f`(y) подобно f(x) также строго монотонно
возрастает. Пусть y’<y” и х’=f`(у’), х”=f`(у”), так как f` - обратная f
=> у’=f(х’) и у”=f(х”) Если бы
было х’>х”, тогда из возрастания f следует что у’>у” - противоречие с
условием, если х’=х”, то у’=у” - тоже противоречие с условием.
Докажем что f` непрерывна: достаточно доказать, что Lim f`(у)=(у0)
при у®у0. Пусть f`(у0)=х0. Возьмем произвольно
Е>0. Имеем "уÎУ: |f`(у)-f`(у0)|<Е  <=> х0
-Е<f`(у)<х0+Е <=> f(х0-Е)<у<f(х0
+Е) <=> f(х0-Е)-у0<у-у0<f(х0
+Е)-у0 <=> -d’<у-у0<d”, где d’=у0
-f(х0-Е)>у0-f(х0)=0, d”=f(х0+Е)-у
0>f(х0)-у0=0,
полагая d=min{d’,d”} имеем: как только |у-у0|<d => -d’<у-у0<d” <=> |f`(у)-f`(у0)|<Е
     Непрерывность степенной функции с рациональным показателем:
     Определение: Степенной функцией с Q показателем называется функция х
M/N - где mÎZ, nÎN. Очевидно степенная функция явл-ся
cуперпозицией непре рывных строго монотонно возрастающих ф-ций хM и
х1/M => ф-ция хM/N - непрерывна при х>0. Если х=0,
то хM/N = 1, а следовательно непрерывна.
Рассмотрим ф-цию хN, nÎN: она непрерывна так как равна
произведению непрерывных функций у=х.
n=0: хN тождественно равно константе => хN - непрерывна х-N=1/хN, учитывая что:
1) 1/х - непрерывная функция при х¹0
2) хN (nÎN) - тоже непрерывная функция
3) х-N=1/хN - суперпозиция ф-ий 1/х и хN при х¹0
По теореме о непрерывности суперпозиции ф-ций получаем: х-N -
непрерывная при х¹0, т.о. получили что хMmÎZ -
непрерывная ф-ция при х¹0. При х>0 ф-ция хN nÎN строго
монотонно возрастает и ф-ция хNнепрерывна=>$ функция обратная
данной, которая также строго монотонно возрастает (при m>0),  очевидно этой
функцией будет функция х1/N
Тригонометрические функции на определенных (для каждой) промежутках обратимы и
строго монотонны =>имеют непрерывные обратные функции => обратные
тригонометрические функции - непрерывны
     31. Свойства показательной функции на множестве рациональных чисел.
     Определение: Показательная функция на множестве рациональных чисел:
Функция вида аX, а>0, а¹1 xÎQ.
     Свойства: для mÎZ nÎN
1) (аM)1/N = (а1/N)MM)1/N=(((а1/N)N)M)1/N = ((а1/N)N*M)1/N = (((а1/N)M)N)1/N = (а1/N)M
2) (аM)1/N=b <=> аM=bN
3) (аM*K)1/N*K=(аM)1/NM*K)1/N*K=b <=> аM*K=bN*K <=> аM=bN <=> (аM)1/N=b
Из свойств для целого показателя вытекают св-ва для рационального если
обозначить: aM/N=(аM)1/N=(а1/N)
M, a-M/N=1/aM/N, а0=1
Св-ва: x,yÎQ
1) aX * aY = aX+Y
aX * aY =b; x=m/n, y=-k/n => aM/N * 1/a
K/N = b =>  aM/N = b * aK/N => aM =
bN * aK => aM-K = bN => a
(M-K)/N = b => aX+Y = b
2) aX/aY = aX-Y
3) (aX)Y=aX*Y
(aX)Y=b; x=m/n, y=k/s => (aM/N)K/S
=b => (aM/N)K=bS => (a1/N)
M*K=bS => (aM*K)1/N=bS 
=> aM*K=bS*N => a(M*K)/(S*N)=b => a
X*Y=b
4) x<y => aX<aY (a>1) - монотонность
z=y-x>0; aY=aZ+X => aY-aX=aZ+X-aX=aX*aZ-aX=aX*(aZ-1) => если aZ>1 при z>0, то aX<aY.
z=m/n => aZ=(a1/N)M => a1/N>1 => (a1/N)M>1 => aX*(aZ-1)>1, (a>1 n>0)
5) при x®0 aX®1 (xÎR)
Т.к. Lim a1/N=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a-1/N
=Lim1/a1/N=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n0: "n>n0 
1-E<a-1/N<a1/N<1+E, а>1. Если теперь
|x|<1/n0, то
a-1/N<aX<a1/N => 1-E<aX<1+E. => Lim aX=1 (при x®0)
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     32.Определение и свойства показательной функции на множестве
действительных чисел.
     Определение: Показательная функция на множестве действительных чисел:
Функция вида аX, а>0, а¹1 xÎR.
     Свойства: x,yÎR.
1) aX * aY = aX+Y
xN®x, yN®y => aXn * aYn = a
Xn+Yn => Lim aXn * aYn = Lim aXn+Yn 
=> Lim aXn * lim aYn = Lim aXn+Yn => a
X * aY = aX+Y
2) aX / aY = aX-Y
3) (aX)Y=aX*Y
xN®x, yK®y => (aXn)Yk = aXn*Yk => (n®¥) (aX)Yk=aX*Yk =>(k®¥) (aX)Y=aX*Y
4) x<y => aX<aY (a>1) - монотонность.
x<x’ x,x’ÎR; xN®x  x’N®x’ xN,x’NÎQ => xN<x’N => aXn < aX’n => (n®¥) aX£aX’- монотонна
x-x`>q>0 => aX-X’ ³ aQ>1 => aX-X’¹1 => aX<aX’ - строго монотонна
5) при x n®0 aX ®1
Т.к. Lim a1/N=1 (n®¥), очевидно, что и Lim a-1/N
=Lim1/a1/N=1 (n®¥). Поэтому "Е>0 $n0: "n>n0 
1-E<a-1/N<a1/N<1+E, а>1. Если теперь
|x|<1/n0, то
a-1/N<aX<a1/N => 1-E<aX<1+E. => Lim aX=1 (при x®0)
6) aX - непрерывна
Lim aX=1 (n®0) из (5) - это означает непрерывность aX в
точке 0 => aX-aXo= aXo(aX-Xo -
1) при х®x0 x-x0 n®0 => aX-x0 
n®1 => при х®x0 lim(aX - aXo)=
Lim aXo*Lim(aX-Xo - 1) = x0 * 0 = 0 => aX - непрерывна
     33.Предел функции (1+x)1/X при x®0 и связанные с ним пределы.
1) Lim (1+x)1/X = e при x®0
У нас есть Lim (1+1/n)n = e при n®¥
     Лемма: Пусть nK®¥ nKÎN Тогда (1+1/nK)Nk®e
Доказательство:
"E>0 $k0: "n>n0 0<e-(1+1/n)n<E => nK®¥ $ k0: "k>k0 => nK>n0 => 0<e-(1+1/nk)Nk<E
Lim (1+xK)1/Xk при x®0+:
1/xK=zK+yK, zKÎN =>
0£yK<1 => (1+1/zK+1)Zk<(1+x
K)1/Xk < (1+1/zK)Zk+1=(1+1/zK
)Zk*(1+1/zK)=>(1+1/zK+1)Zk=(1+1/z
K+1)Zk+1)/(1+1/zK+1) => (1+1/zK+1)
Zk+1/(1+1/zK+1) < (1+xK)1/Xk <
(1+1/zK)Zk*(1+1/zK) k®¥ учитывая, что:
(1+1/zK)®1 (1+1/zK+1)®1 => получаем:
e£Lim (1+xK)1/Xk£e => Lim (1+xK)1/Xk=e => Lim (1+x)1/X=e при x®0+
Lim (1+xK)1/Xk при x®0-:
yK=-xK®0+ => доказываем аналогично предыдущему => получаем Lim (1+x)1/X=e при x®0-
Видим что правый и левый пределы совпадают => Lim (1+x)1/X=e при x®0
2) n®¥ lim (1+x/n)N = (lim (1+x/n)N/X)X = eX
3) x®xa aÎR - непрерывна
xa=(eLn x) a=ea*Ln x
непр  непр     непр               непр
x®Ln x®a*Ln®a*Ln x => x®ea*Ln x
4) x®0 Lim (Ln (1+x))/x = Lim Ln (1+x)1/X = Ln e = 1
4’) x®0 Lim LogA(1+x)1/X = 1/Ln a
5) x®0 Lim (eX-1)/x = {eX-1=t} = Lim t/Ln(1+t) => (4) = 1/1 = 1
5’) x®0 Lim (aX-1)/x = Ln a
6) x®0 Lim ((1+x)a-1)/x = Lim ([e a*Ln (1+x) 
-1]/[a*Ln(1+x)]*[a*Ln (1+x)]/x = 1*a*1= a
     34.Теорема Вейрштрасса об ограниченности непрерывной функции на отрезке.
Функция х®f(x) называется непрерывной на множестве Х если она непрерывна в
каждой точке х этого множества.
     Теорема: Функция непрерывная на отрезке [a,b], является ограниченной на
этом отрезке (1 теорема Вейрштрасса) и имеет на нем наибольшее и наимень шее
значение (2 теорема Вейрштрасса).
Доказательство: Пусть m=Sup{f(x):xÎ[a,b]}. Если f не ограничена сверху на
[a,b], то m=¥, иначе mÎR. Выберем произвольную возрастающую посл-ть
(сN), такую что Lim cN=m. Т.к. "nÎN: cN
<m то $ xNÎ[a,b]: cN<f(xN)£m.
xN - ограничена => $ xKn®a. Т.к. a£xКn
£b => aÎ[a,b].
Для mÎR - по теореме о том, что предел произвольной подпосл-ти равен
пределу посл-ти получаем cKn®m.
Для m=+¥ - по Лемме о том что всякая подпосл-ть бб посл-ти явл-ся бб
посл-тью получаем cKn®m. Переходя к пределу в нер-вах cKn
<f(xKn)£m, получим
Lim f(xKn)=b n®¥, но в силу непрерывности ф-ции f имеем Lim f(x
Kn)=f(a) => f(a)=m - что и означает что функция f ограничена сверху и
достигает верхней
граница в точке a. Существование точки b=Inf{f(x):xÎ[a,b]} доказывается
аналогично.
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     35. Равномерная непрерывность. Ее характеризация в терминах колебаний.
     Определение: "Е>0 $ d>0: "х’,х”: |х’-х”|<d =>
|f(x’)-f(x”)|<Е => функция называется равномерно непрерывной
Отличие от непрерывности состоит в том, что там d зависит от Е и от х”, то
здесь d не зависит от х”.
     Определение: Ф-ция f - не равномерно непрерывна, если $ Е>0 "d >0:
$ х’,х”: |х’-х”|<d => |f(x’)-f(x”)|³Е>0
Рассмотрим множество {|f(x’)-f(x”)|:|x’-x”|<d, x’,x”ÎI}, IÍDf.
Верхняя точная граница этого множества обозначаемое Wf(d) называется
колебанием функции f на множестве I вызванное колебаниями аргумента:
1/х - Wf(d) = +¥; Sin x - Wf(d) = 1
Таким образом равномерно непрерывную функцию можно определить по другому:
"Е>0 $ d>0: Wf(d)£Е Lim Wf(d)=0 d®0
     36.Теорема Кантора о равномерной непрерывности непрерывной функции на отрезке.
     Теорема: Если f непрерывна на [a,b], то она равномерно непрерывна на [a,b].
Доказательство(от противного):
Пусть f не равномерно непрерывна на [a,b]=>$Е>0 "d>0 $х’,х”:
|х’-х”|<d=>|f(x’)-f(x”)|³Е. Возьмем d =1/к, кÎN $хK
, х’KÎ[a,b]: |хK-х’K|<1/к |f(xK
)-f(x’K)|³E
Т.к хK - ограничена => из нее по теореме Больцано-Вейерштрасса
можно выделить подпосл-ть xKs сходящуюся к х0. Получаем:
|хKs-х’Ks|<1/к
хKs-1/k<х’KsKs-1/k по Лемме о зажатой
посл-ти х’Ks®х0 kS®¥ |f(xKs
)-f(x’Ks)|³E кS®¥ => 0³E - противоречие с
условием.
     37.Определение производной и дифференциала.
Касательная в точке x0 к функции x®f(x): возьмем еще одну точку х
соединим x0 и х - получим секущую. Касательной назовем предельное
положение  секущей при х®x0, если это предельное положение
существует. Т.к. касательная должна пройти ч/з точку (x0,f(x0
) => уравнение этой касательной (если  она не вертикальна) имеет вид y=k*(x-x
0)+f(x0). Необходимо только опр-ть наклон k 
касательной. Возьмем произвольное число Dх¹0 так, чтобы x0
+DхÎХ. Рассмотрим секущую МОМ, МО(x0,f(x
0)), М(x0+Dх,f(x0+Dх)). Уравнение секущей имеет вид:
у=к(Dх)(х-x0)+f(x0), где k=f((x0+Dх)-f(x0
))/Dх - наклон секущей. Если существует Lim к(Dх) при Dх®0, то в качестве
искомого наклона k возьмем это предел. Если Lim к(Dх)=¥ при Dх®0,
то перепишем уравнение секу щей в виде x=(1/k(Dх))*(y-f(x0))+x0 
перейдя к пределам при Dх®0, получим x=x0 (Lim x=Lim x0 
Dх®0 => x = Lim x0)
     Определение: Производным значением функции f в точке х0 
называется число f’(х0)=Lim (f(x0+Dх)-f(x0))/
Dх x®x0, если этот предел существует.
Геометрически f’(х0) - это наклон невертикальной касательной в точке
(x0,f(x0)). Уравнение касательной y=f’(x0
)*(x-x0)+f(x0). Если Lim (f(x0+Dх)-f(x
0))/Dх=¥ Dх®0, то пишут f`(x0)=¥ касательная в этом
случае вертикальна и задается уравнением х=x0. f`(x0
)=lim(f(x0+Dх)-f(x0))/Dх x®x0=>(f(x0
+Dх)-f(x0))/Dх=f’(x0)+a(x), a(x)®0 при x®x0.
f(x0+Dх)-f(x0)=f`(x0)*Dх+a(x)*Dх учитывая, что
x0+Dх=x и обозначая a(x)*Dх через o(x-x0) получим
f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0).
Необхо димо заметить, что o(x-x0) уменьшается быстрее чем (x-x0
) при x®x0 (т.к. o(x-x0)/(x-x0)®0 при x®x0
)
     Определение: Ф-ция f называется дифференцируемой в точке x0 
если $сÎR: в некоторой окрестности точки x0 f(x)=С(x-x0
)+f(x0)+o(x-x0)
     Теорема: Функция диффференцируема в точке x0 <=> $ f’(x0)
Доказательство:
<=: f(x)=f’(x0)*(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) => f`(x0)=C
=>: f(x)=C(x-x0)+f(x0)+o(x-x0) =>
(f(x)-f(x0))/(x-x0)=C+o(x-x0)/(x-x0
)=C+a(x), a(x)®0 при x®x0.
Переходим к пределу при x®x0 => Lim (f(x)-f(x0))/(x-x
0)=C+0=C => Слева записано производное значение ф-ции f => по
определению C=f`(x0)
     Определение: Если функция х®f(x) дифференцируема в точке x0,
то линейная функция Dх®f’(x0)*Dх называется дифференциалом функции f
в точке x0 и
обозначается df(x0). (диф-ал ф-ции х®х обозначают dx). Т.о. df(x
0):Dх®f`(x0)*Dх и dх:Dх®Dх. Отсюда df(x0)=f’(x0
)*dх => df(x0)/dх: Dх®f`(x0)*Dх/Dх=f’(x0)
при Dх¹0. В силу этого пишут также f’(x0)=df(x0)/dх
- обозначение Лейбница. График диф-ла получается из графика касательной
переносом начала коор динат в точку касания.
     Теорема: Если ф-ция f диф-ма в точке x0, то f непрерывна в точке x0.
Докозательство: f(x)=f(x0)+f’(x0)*(x-x0)+o(x-x
0)®f(x0) при x®x0 => f непрерывна в точке x0
.
     Определение: Нормаль к ф-ции f в точке x0: это прямая
перпендикулярная касательной к ф-ции f в точке x0. Учитывая что
тангенс угла наклона нормали равен tg(90+угол наклона касательной)=
-Ctg(наклона касательной), получаем уравнение нормали: y=-1/f’(x0
)*(x-x0)+f(x0)
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     38. Арифметика диф-цирования. Производные тригонометрических функций.
     Теорема: Пусть ф-ции f и g дифференцируемы в точке x0, тогда
ф-ции f+g, f*g  и f/g (при g(x0)¹0) дифференцируемы в точке x
0 и:
1) (f+g)’(x0)=f’(x0)+g’(x0)
2) (f*g)’(x0)=f’(x0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0)
3) (f/g)’(x0)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x0)2
Доказательство:
1) Df(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)
Dg(x0)=g(x0+Dx)-g(x0)
D(f+g)(x0)=Df(x0)+Dg(x0)=f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0+Dx)-g(x0)
D(f+g)(x0)/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0)+g(x0
+Dx)-g(x0))/Dx=(f(x0+Dx)-f(x0))/Dx+(g(x0
+Dx)-g(x0))/Dx®f’(x0)+g’(x0) при Dx®0
2) D(f*g)(x0)=f(x0+Dx)*g(x0+Dx)-f(x0
)*g(x0)=(f(x0)+Df(x0))*(g(x0)+D(x
0))-f(x0)*g(x0)=g(x0)*Df(x0
)+f(x0)*Dg(x0)+Df(x0)*Dg(x0)
D(f*g)(x0)/Dx=g(x0)*(Df(x0)/Dx)+f(x0
)*(Dg(x0)/Dx)+(Df(x0)/Dx)*(Dg(x0)/Dx)*Dx®f’(x
0)*g(x0)+f(x0)*g’(x0) при Dx®0
3) Ф-ция g - дифференцируема в точке x0 => Ф-ция g - непрерывна в
точке x0 => "Е>0 (Е=|g(x0)|/2) $d>0: |Dx|< d
=> |g(x0+Dx)-g(x0)|<|g(x0)|/2.
g(x0)-|g(x0)|/2<g(x0+Dx)<g(x0
)+|g(x0)|/2. Рассматривая функцию g при таких x (|Dx|<d) видим что
g(x0+Dx)¹0.
Рассмотрим разность (1/g(x0+Dx)-1/g(x0))/ Dx = -(g(x0
+Dx)-g(x0))/Dx*g(x0+Dx)*g(x0) ® -g’(x0
)/g(x0)2 при Dx®0
(f/g)’(x0)=(f*1/g)’(x0) => (2) = f’(x0
)*1/g(x0)+f(x0)*(1/g)’(x0)=f`(x0
)*1/g(x0)+f(x0)*(-g’(x0)/g(x0)2
)=(f’(x0)*g(x0)-f(x0)*g’(x0))/g(x
0)2
     Теорема: Пусть f=Sin(x), g=Cos(x)
1) Sin’(x0) = Cos (x0)
2) Cos’(x0) = -Sin (x0)
Доказательство:
1) Df/Dx=(Sin(x0+Dx)-Sin(x0))/Dx = Sin(Dx/2)/(Dx/2) *
Cos(x0+Dx/2) ® Сos x0 при Dx®0
2) Dg/Dx=(Cos(x0+Dx)-cos(x0))/Dx=Sin(Dx/2)/(Dx/2)*-Sin(x
0+Dx/2) ® -Sin x0 при Dx®0
Производные Tg и Ctg  выводятся непосредственно из производных для Sin и Cos
по формулам дифференцирования.
     39. Производная суперпозиции.Производные степенной, показательной и
логарифмической функции.
     Теорема: Пусть функция g диф-ма в точке x0, а ф-ция f диф-ма в
точке y0=g(x0), тогда ф-ция h(х)=f(g(х)) диф-ма в точке x
0 и h’(x0)=f`(y0)*g’(x0)
Доказательство:
Dy=y-y0, Dx=x-x0, Df(y0)=f’(y0)*Dy+o(Dy), Dg(xo)=g’(xo)*Dx+o(Dx), y=g(x0+Dx)
Dh(x0)=f(g(x0+Dx))-f(g(x0))=f(y)-f(y0
)=f’(y0)*Dy+o(Dy)=f’(y0)*(g(x0+Dx)-g(x0
))+o(Dg)==f’(y0)*(g’(x0)*Dx+o(Dx))+o(Dy)= f’(y0
)*g’(x0)*Dx+f’(y0)*o(Dx)+o(Dy)
Dh(x0)/Dx=f’(y0)*g’(x0)+r, r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx
r=f`(y0)*o(Dx)/Dx+o(Dy)/Dx=f`(y0
)*(a(x)*Dx)/Dx+(a’(x)*Dy)/Dx=f’(y0)*a(x)+a’(x)*Dy/Dx®f’(y0
)*0 + 0*g’(y0) при Dx®0 (a(x)®0 a’(x)®0)
     Производная:
1) xa=a*xa-1
Lim (Dy/Dx)=lim((x+Dx)a-xa)/Dx = Lim xa-1*
((1+Dx/x)a-1)/Dx/x. Используя замечательный предел x®0 Lim ((1+x)
a-1)/x=a, получим Dx®0
Lim xa-1*Lim((1+Dx/x)a-1)/Dx/x = a*xa-1
2) (aX)’=aX*Ln a (x®aX)’=(x®eX*Ln a)’
x®eX*Ln a - композиция функций x®еX и x®x*Ln a обе
непрерывны на R => (x®aX)’=(x®е X*Ln a)’=(x®еX
*Ln a)’*(x®x*Ln a)’=aX*Ln a
Д-во : (eX)’=eX
Lim(Dy/Dx)=Lim(eX+DX-eX)/Dx=Lime
X*(eDX-1)/Dx, используя зам-ный предел при x®0 Lim(e
X-1)/x=1, получим при Dx®0 Lim(Dy/Dx)=eX
3) (LogA(x))’=1/x*Ln a
Lim(Dy/Dx) = Lim (LogA(x+Dx) - LogA(x))/Dx = Lim 1/x*Log
A(1+Dx/x)/Dx/x, используя замечательный предел при x®0 Lim LogA
(1+x)/x=1/Ln a, получим
Lim (Dy/Dx) = Lim 1/x*Lim LogA(1+Dx/x)/Dx/x=1/x*Ln a
     40. Производная обратной функции. Производные обратных тригонометрических
функций.
     Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в
точке y0, то g’(y0)=1/f’(x0), где y0
=f(x0)
Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1
g’(f(x0))=g’(f(x0))*f’(x0)=1, g’(f(x0))=g(y0)=1/f’(x0)
     Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в
(а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно
отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x0Î(a,b) и
f’(x0)¹0, то g диф-ма в точке y0=f(x0) и
g’(y0)=1/f’(x0)
Доказательство:
Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y0: yN
®y0, yN¹y0 => $ посл-ть xN:
xN=g(yN), f(xN)=yN
g(yN)-g(y0)/yN-yO = xN-x
O/f(yN)-f(yO) = 1/f(yN)-f(yO
)/xN-xO ® 1/f’(xo) при n®¥, получили при xN
®xO g(yN)-g(yO)/yN-yO
®1/f’(xO) => g’(уO)=1/f’(xO)
     Производные:
1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что
Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к.
Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит
Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin2y)1/2 = 1/(1-x2)
1/2
2) x®Arccos’x = -1/(1-x2)1/2
3) x®Arctg’x = 1/1+x2
4) x®Arcctg’x= -1/1+x2
     41.Производные и дифференциалы высших порядков.
     Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки xO
, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке xO 
или даже в некоторой  ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется
второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке xO и
обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и
так далее. Для единообразия обозначаем через fN(xO) -
производную порядка n функции f в точке xO и при n=0 считаем f0
(xO)=f(xO).
     Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы
существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки xO 
(следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®f
N-1(x) непрерывна в точке xO, а при n³2 все производные
порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки xO.
     Определение: Дифференциалом ф-ции f порядка n в точке xO 
называют функцию dх®fN(x)*dх и обозначают dNf(x). Таким
образом dNf(x):dх®fN(x)dxN.
Так как fN(x)dхN:dх®fN(x)dxN, то d
Nf(x)=fN(x)dхN. В силу этого соотношения производную fN
(x) обозначают также dNf(x)/dхN
     Инвариантность:
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию
у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то  cуществует производная
у’(t)=у’(х)*х’(t). Если х считать независимой переменной, то диф-ал dy=y’(х)dx.
Перейдем к независимой переменной t, учитывая что у’(t)=у’(х)*х’(t):
dy=y’(t)dt=y’(x)*х’(t)dt. x’(t)dt=dх => dy=y’(t)dt=у’(х)*х’(t)*dt=у’(x)dх -
видим что при переходе к новой независимой переменной форма дифференциала может
быть сохранена - это свойство называют инвариантностью формы первого
дифференциала.
Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию
у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то  существует производная
у’(t)=у’(х)*х’(t) и по доказанному ее первый диф-ал по t можно написать в форме
dy=y’(х)dх, где dх=x’(t)dt. Вычисляем второй диф-ал по t: d2
y=d(y’(x)dx)=dy’(x)dx+y’(x)d(dx). Снова пользуясь инвариантностью первого диф-ла
dy’(x)=у”(х2)dx => d2y=у”(х2)dx2
x+y’(x)*d2x, в то время как при независимой переменной х второй
диф-ал имел вид д2y=у’(х2)*dx2x =>
неинвариантность формы второго диф-ла.
     Формула Лейбница:
f(x)=u(x)*v(x) 
Доказательство по индукции.
1) n=0 верно
2) Предположим для n - верно => докажем для (n+1)
Если для u и v $(n+1) производные, то можно еще раз продифференцировать по х
- получим:
     
Объединим теперь слагаемые обеих последних сумм, содержащие одинаковые
произведения производных функций u и v (сумма порядков производ ных в таком
произведении, как легко видеть, равна всегда (n+1)). Произведение u0
*vN+1 входит только во вторую сумму с коэффициентом С0
N=1. Произведение uN+1*v0 входит только в первую
сумму с коэффициентом СNN=1. Все остальные произведения
входящие в эти суммы имеют вид uK*vN+1-K. Каждое такое
произведение встречается в первой сумме с номером k = i-1, а во второй i=k.
Сумма соотв. коэффициентов будет 
=>
получаем fN+1(x)=u0*vN+1++ uN+1*v0=
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     44. Нахождение промежутков постоянства монотонности функции и ее экстремумов.
     Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в
открытом промежутке (a;b), если f’(x)=0 в (a;b), то f(x)-const в [a;b].
Докозательство:
Пусть x£b, тогда в замкнутом промежутке в [a;x] по теореме Лагранжа имеем:
f(x)-f(a)=f’(a+q(x-a))(x-a) 0<q<1 => т.к. по условию f’(x)=0 в (a;b),
то f’(a+q(x-a))=0 => f(x)=f(a)=Const для все хÎ(a;b).
     Теорема: Пусть f(x) непрерывна в замкнутом промежутке [a;b] и диф-ма в
открытом промежутке (a;b), тогда:
1) f монотонно возрастает(убывает) в нестрогом смысле в (a;b) <=>
f’(x)³0(f’(x)£0) в (a;b).
2) Если f’(x)>0(f’(x)<0) в (a;b) и f непрерывна в [a;b], то f строго
возрастает(убывает) в [a;b].
Доказательство:
1) Пусть f непрерывна на [x’,x”] x’, x”Î(a;b), тогда по теореме Лагранжа
(f(x”)-f(x’))/(x”-x’)=f’(c), сÎ(x’,x”). По условию имеем
f’(x)³0(f’(x)£ 0) в (a;b) => f’(c)³0(f’(c)£ 0) =>
f(x”)³f(x’)( f(x”)£f(x’)) => f(x) возрастает(убывает) в нестрогом
смысле в (a;b).
2) Используя аналогичные (1) рассуждения, но заменяя неравенства на строгие
получим (2).
     Следствие: Если xO-критическая точка непрерывной ф-ции f.
f’(x) в достаточно малой d-окр-ти точки xO имеет разные знаки, то x
O-экстремальная точка.
Достаточное условие экстремума: (+)®xO®(-) => локальный min, (-)®x
O®(+) => локальный max
     46. Выпуклые множества Rn. Условие Иенсена. Выпуклые функции.Неравенство
Йенсена.
     Определение: Множество М выпукло <=> если " А,ВÎМ [А,В]ÌМ
[А,В]ÌМ => [А,В]={А+t(В-А):tÎ[0,1]} => А(1-t)+tВÎМ
[А,В]ÌМ => А,ВÎМ; l1=1-t, l2=t => l1+l2=1 l1,l2³0 => l1А+l2ВÎМ
Рассмотрим точки: А12,...АNÎМ l1,l2³0 S(i=1,n): lI = 1
Докажем что S(i=1,n): lII ÎМ
Д-во: По индукции:
1) n=1, n=2 - верно
2) Пусть для (n-1) - верно => докажем для n:
а) lN=1 => приравниваем l1=...=l N-1=0 => верно
б) lN<1 l11 +...+ lN-1
N-1 + l NN= (1-l N)((l1
/1-l N)*А1+...+(lN-1/1-l N)*А 
N-1) + l NN = (1-l N)*B + l NN
BÎМ - по индуктивному предположению А NÎМ - по условию=>(1-l N)*B + l NN ÎМ Ч.т.д
График Гf = {(x,f(x)):хÎDf}, Надграфик UPf={(x,y):y>f(x)}
     Определение: Функция f выпукла <=> UPf - множество выпукло.
     Условие Йенсена: АIÎМ lI³0 S(i=1,n): l
I =1 => S(i=1,n): lII ÎМ, xI
³0, f(xI)£yI => S(i=1,n): lI
I = (SlI*xI;SlI*yI) => f(Sl
I*xI)£SlI*yI
     Неравенство Йенсена: АIÎМ lI³0 SlI =1f(SlI*xI)£SlI*f(xI)
     47.Критерий выпуклости дифференцируемой функции.
     Теорема: Пусть f определена в интервале (a;b), тогда следующие условия
эквивалентны: 1) f - выпукла в (a;b) ~ 2) "x’,xO
,x”Î(a;b) x’<xO<x” =>
(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)£(f(x”)-f(xO))/(x”-x
O). Геометрический смысл: при сдвиге вправо угловой коэффициент секущей
растет.
Доказательство:
“=>” AB: k=(y-f(x’))/(xO-x’)³(f(xO)-f(x’))/(x
O-x’) => y³f(xO); AB: k=(f(x”)-y)/(x”-xO
)£(f(x”)-f(xO))/(x”-xO) =>y£f(xO
)
(f(xO)-f(x’))/(xO-x’)£(f(x”)-f(xO))/(x”-xO)
“<=”