Каталог :: Математика

Курсовая: Уравнения с параметрами

                                      ПЛАН                                      
Введение
Глава 1.
§1. Теоретические  основы  решения  уравнений  с  параметрами.
§2. Основные  виды  уравнений  с параметрами.
Глава 2.
§1. Разработка  факультативных  занятий  по  теме.
Заключение.
ВВЕДЕНИЕ
Главной  целью  факультативных  занятий по  математике  являются  расширение
и  углубление  знаний, развитие  интереса  учащихся  к  предмету, развитие
их  математических  способностей. Процесс  обучения  строится  как
совместная  исследовательская  деятельность  учащихся.
Большую  роль  в  развитии  математического  мышления  учащихся  на
факультативных  занятиях  играет  изучение  темы  "Уравнения  с
параметрами". Вместе  с  тем  изучение  этой  темы  в  школьной  программе
не  уделено  достаточного  внимания. Интерес  к  теме  объясняется  тем, что
уравнения  с  параметрами  предлагаются  как  на  школьных  выпускных
экзаменах, так  и  на  вступительных  экзаменах  в  вузы.
Целью  курсовой  работы  является  ознакомление  учащихся  с  теоретическими
основами  решения  уравнений  с  параметрами, основными  их  видами  и
рекомендациями  к  решению.
ГЛАВА 1
         §1. Теоретические  основы  решения  уравнений  с  параметрами.         
Рассмотрим уравнение
     F(х, у, ..., z; α,β,  ..., γ) =0                   (F)
с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами α,β,  ...,
γ ;при всякой допустимой системе значений параметров α00,  ..., γ0 уравнение (F) обращается в
уравнение
     F(х, у, ..., z; α00,  ..., γ0) =0                (F0)
с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo
) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.
Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры.
Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для
каждого уравнения в отдельности.
     Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее
параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти
множество всех решений данного уравнения (системы).
Понятие  эквивалентности  применительно  к  уравнению, содержащим  параметры,
устанавливается  следующим  образом.
     Определение. Два уравнения (системы)
     F(х, у, ..., z; α,β,  ..., γ) =0 (F),
     Ф (х, у, ..., z; α,β,  ..., γ) =0 (Ф)
с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β,  ..., γ
называются  эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество
допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой
системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.
Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений
параметров имеют одно и то же множество решений.
Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений
параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.
Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении
     F(x, у,,z; α,β,  ..., γ)=0 (F)
задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(α,β,  ...,
γ);
     у =  у(α,β,  ..., γ);..
     z=z (α,β,  ..., γ).   (Х) 
Говорят, что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет
уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных 
х, у,..., z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно
при всех допустимых значениях параметров:
     F (x(α,β,  ..., γ), y(α,β,  ..., γ),.,z
(α,β,  ..., γ)≡0.
При  всякой  допустимой  системе  численных  значений  параметров  α =
α0,β=β0,  ..., γ= γ0  
соответствующие  значения  функций  (Х)  образуют  решение  уравнения
     F(х, у, ..., z; α00,  ..., γ0) =0
                 §2. Основные  виды  уравнений  с  параметрами .                 
                       Линейные и  квадратные  уравнения.                       
Линейное  уравнение, записанное  в  общем  виде, можно  рассматривать  как
уравнение  с  параметрами :  ах = b, где  х –
неизвестное, а, b – параметры. Для  этого  уравнения  особым  или
контрольным  значением  параметра  является  то,  при  котором  обращается  в
нуль  коэффициент  при неизвестном.
При  решении  линейного  уравнения  с параметром  рассматриваются  случаи,
когда  параметр  равен  своему  особому  значению  и  отличен  от  него.
Особым  значением  параметра  а  является  значение  а = 0.
1. Если  а ≠ 0 , то  при  любой  паре  параметров  а   и  b  оно
имеет  единственное  решение  х = 
.
2. Если  а = 0, то  уравнение  принимает  вид: 0 х = b.
В  этом  случае  значение  b = 0  является  особым  значением
параметра  b.
2.1.    При  b ≠ 0 уравнение  решений  не  имеет.
2.2.    При  b = 0  уравнение  примет  вид : 0 х = 0. Решением
данного  уравнения  является  любое  действительное  число.
П р и м е р . Решим уравнение
     2а(а — 2) х=а — 2. (2)
Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых
коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются 
а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих
частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях
параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом,
целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на
подмножества
A1={0}, А2={2} и Аз= {а≠0, а≠2}
и  решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение
(2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях
параметра:
1) а=0   ;    2) а=2  ;    3) а≠0, а≠2
Рассмотрим эти случаи.
1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0 х= — 2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0 х=0. Корнем этого
уравнения является любое действительное число.
3) При а≠0, а≠2  из уравнения (2) получаем, х=  
откуда х=  .
0 т в е т: 1) если а=0, то корней нет; 2) если а=2, 
то х — любое  действительное число;
3)  если а≠0, а
≠2 , то  х= 
П р и м е р . Решим уравнение
(а — 1) х2+2 (2а+1) х+(4а+3) =0; (3)
Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в
том, что при a=1 уравнение (3) является линейным, а при а≠ 
1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит,
целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся
из него при следующих значениях параметра:    1) а=l; 2) а
≠1.
Рассмотрим эти случаи.
1) При a=1 уравнение (3) примет вид бх+7=0. Из этого
уравнения находим х= - .
2) Из множества значений параметра а≠ 1 выделим те значения, при
которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то
при переходе значения D через точку ао дискриминант
может изменить знак (например, при а<ао D< 0, а при 
а>ао D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао 
меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере
при а<ао корней нет, так как D< 0, а при а>а
о D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о
качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых
обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным
значениям.
Составим дискриминант уравнения (3):
      =(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем  = 5а+4.
Из уравнения  =0 находим а=  второе контрольное значение параметра а. При
     этом если а < , то D <0; если     a,  , то  D≥0.
                                                             a ≠ 1
Таким образом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда  а< 
и  в  случае, когда  { a
, a ≠ 1 }.
Если  а< ,  то  уравнение  (3)  не  имеет  действительных корней; если  же
{ a, a ≠ 1 }, то  находим  
Ответ: 1) если  а< ,  то  корней  нет  ; 2) если а= 1,  то  х = - ;
                3)     a,    то               
     a ≠ 1
    Дробно-рациональные  уравнения  с  параметрами, сводящиеся  к  линейным.    
Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное
уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий
знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным
им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые
обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта
задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется
находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е.
решать соответствующие уравнения относительно параметра.
П р и м ер . Решим уравнение
      (4)
Р е ш е н и е. Значение а=0 является контрольным. При a=0
уравнение (4) теряет смысл и, следовательно, не имеет корней. Если  
а≠0, то после преобразований уравнение (4) примет вид:
     х2+2 (1 — а) х +а2 — 2а — 3=0. (5)
Найдем дискриминант уравнения (5)
     = (1 — a)2 — (a2 — 2а — 3) = 4.
Находим корни уравнения (5):
     х1 =а + 1,   х2 = а3.
При переходе от уравнения (4) к уравнению (5) расширилась
область определения уравнения (4), что могло привести к появлению посторонних
корней. Поэтому необходима проверка.
П р о в е р к а. Исключим из найденных значений х такие, при которых х
1+1=0, х1+2=0, х2+1=0, х
2+2=0.
Если  х1+1=0, т. е. (а+1)+1=0, то а= — 2.
Таким образом, при а= — 2 х1 — посторонний корень уравнения
(4).
Если х1+2=0, т. е. (а+1)+2=0, то а= — 3. 
Таким образом, при а= — 3 x1 — посторонний корень
уравнения (4).
Если х2+1 =0, т. е. (а — 3)+1=0, то а=2. 
Таким образом, при а=2 х2 — посторонний корень
уравнения (4)'.
Если х2+2=0, т. е. (а — 3)+2=0, то а=1. Таким
образом, при а= 1 х2 — посторонний корень уравнения
(4).
Для облегчения выписывания ответа сведем полученные результаты на рисунке .
только х2   только х2       корней нет    только х1  только х1
     х1,2             х1,2                        
х1,2                х1,2           х
1,2              х1,2                               
     
     
     -3            -2                            0            1              2
а
В соответствии с этой иллюстрацией при а= — 3 получаем х= — 3 — 3= — 6;
при a= — 2 х= — 2 — 3= — 5; при a=1   х= 1+1=2;   при a=2    х=2+1=3.
Итак, можно записать
От в ет: 1) если a= — 3, то х= — 6; 2) если a= —
2, то х= — 5; 3) если a=0, то корней нет; 4) если a= l,
то х=2; 5) если а=2, то х=3;
6) если   а≠ -3  ;
     а≠ -2  ;
     а≠  0  ;    то  х1 = а + 1,
     а≠ 1  ;           х2 = а – 3.
     а≠ 2,
                   Иррациональные  уравнения  с  параметрами.                   
Существует  несколько  способов  решения  иррациональных уравнений  с
параметрами. Познакомимся  с  ними, разобрав  следующий  пример.
П р и м ер . Решить  уравнение   х -  = 1. (6)
Решение:
Возведем  в  квадрат  обе  части  иррационального  уравнения  с  последующей
проверкой  полученных  решений.
Перепишем  исходное  уравнение  в  виде:
     = х – 1    (7)
При  возведении  в  квадрат  обеих  частей  исходного  уравнения  и
проведения  тождественных  преобразований  получим:
2 х2 – 2х + (1 - а) = 0, D = 2а – 1.
Особое  значение : а = 0,5. Отсюда :
1)      при  а > 0,5  х1,2 = 0,5 ( 1 ± );
2)      при  а = 0,5  х = 0,5  ;
3)      при  а <0,5  уравнение  не  имеет  решений.
Проверка:
1)      при  подстановке  х = 0,5  в  уравнение  (7), равносильное
исходному, получим  неверное  равенство. Значит, х = 0,5  не  является
решением  (7)  и  уравнения  (6).
2)      при   подстановке  х1 = 0,5 ( 1 ± )  в  (7)  получим:
-0,5 ( 1 + ) =  – ( 0,5 ( 1 - ))2
Так  как  левая  часть  равенства  отрицательна, то  х1  не
удовлетворяет  исходному  уравнению.
3)      Подставим  х2  в  уравнение (7):
     = 
Проведя  равносильные  преобразования, получим:
Если   , то  можно  возвести  полученное  равенство  в  квадрат:
     
Имеем  истинное  равенство  при  условии, что
Это  условие  выполняется, если а ≥1. Так  как  равенство  истинно  при а
≥1, а  х2  может  быть  корнем  уравнения  (6)  при  а >
0,5, следовательно, х2 – корень  уравнения  при а ≥1.
                         Тригонометрические  уравнения.                         
Большинство  тригонометрических  уравнений  с  параметрами  сводится к
решению  простейших  тригонометрических  уравнений  трех  типов. При  решении
таких  уравнений  необходимо  учитывать  ограниченность  тригонометрических
функций            у = sin x   и  y = cos x. Рассмотрим  примеры.
     Пример . Решить уравнение: cos =2а.
     Решение: Так как Е(соs t)=[-1; 1], то имеем два случая.
     1. При |a| > 0,5 уравнение не имеет решений.
     2. При |a| ≤0,5  имеем:
     а) 
=arccos2a+2πn. Так как уравнение имеет решение, если arccos2а+2
πn≥0, то n может принимать значения n=0, 1, 2,
3,.... Решением уравнения является х = 1+(2πn+аrссоs2а
)2
     б) =-аrссоs2
а+πn. Так как уравнение имеет решение при условии, что
-аrссоs2а+2πn>0, то n=1, 2, 3,..., и
решение уравнения. х=1+(2πn-arccos2a)2 .
Ответ: если |a| > 0,5, решений нет;
если |a| ≤0,5  , х = 1+(2πn+аrссоs2а)
2при n = 0, 1, 2,... и х=1+(2πn-arccos2a
)2  при        n  
N.
     Пример . Решить уравнение:  tg ax2 =
     Решение:.
     ах2 = +πn, n  Z
Если коэффициент при неизвестном зависит от параметра, то появляется особое
значение параметра. В данном случае:
     1. Если а=0, то уравнение не имеет решений.
     2. Если а  0, то х2 = , n  Z
Уравнение  имеет  решение, если  ≥0. Выясним, при  каких  значениях  n
и  а  выполняется  это  условие:
     ≥0 
откуда   n   и  а > 0  или  n  и  а < 0.
Итак, уравнение  имеет  решение  х = ±  , если
1) а > 0    и  n = 1,2,3,.   или
2) а < 0   и  n  Z.
Ответ: при  а = 0  решений  нет;
при  а > 0    и  n = 1,2,3,.   или  а < 0   и  n  Z  х = ±  .
Пример.  Решите  уравнение:  а sin bx = 1
Решение:  Особое  значение  параметра  а : а = 0.
1.      При  а = 0  решений  нет.
2.      При  а 0 sin bx = . Имеем  2  случая:
2.1. Если   > 1, то  решений  нет.
2.2. Если   ≤ 1, то  особое  значение  b = 0:
2.2.1. Если  b = 0, то  решений  нет.
2.2.2. Если  b 0, то  х = 
Ответ:   при  а = 0   или   > 1   и  а 0   или  а 0   b = 0    решений  нет;
при  а 0   и   ≤ 1  и  b 0    х = 
                   Показательные    уравнения  с  параметрами.                   
Многие  показательные  уравнения  с  параметрами  сводятся  к  элементарным
показательным  уравнениям  вида  а f (x)  = 
b φ(х)  (*), где  а > 0, b 
> 0.
Область  допустимых  значений  такого уравнения находится  как  пересечение
областей  допустимых  значений  функций  f(x)  и  φ (х). 
Для  решения  уравнения  (*) нужно  рассмотреть  следующие  случаи:
1)      При  а = b = 1  решением  уравнения  (*)  является
область  его  допустимых  значений  D.
2)      При  а = 1, b ≠ 1  решением  уравнения  (*)
служит  решение  уравнения  φ(х) = 0  на  области  допустимых
значений  D.
3)      При  а ≠ 1, b = 1  решение  уравнения  (*)
находится  как  решение  уравнения      f(х) = 0  на  области  
D.
4)      При  а = b  (а > 0, а ≠ 1, 
b >0, b ≠ 1)  уравнение  (*)  равносильно  уравнению        
f(х) = φ(х)  на  области  D.
5)      При  аb  (а > 0, а ≠
1, b >0, b ≠ 1)  уравнение  (*)  тождественно
уравнению
log c a f(x) =  log c b φ(x)  (c > 0, c ≠ 1)  на  области  D.
Пример. Решите  уравнение:  а х + 1 = b 3 – х
Решение. ОДЗ  уравнения:  х  R,  а > 0,  b >0.
1)  При   а ≤ 0, b ≤ 0  уравнение  не  имеет  смысла.
2)  При   а = b = 1,   х  R.
3)  При  а = 1, b ≠ 1  имеем:  b 3 – х = 1  или  3 – х = 0  х = 3.
4)  При  а ≠ 1, b = 1  получим:  а х + 1 = 1  или х + 1 = 0  х = -1.
5)  При  а = b   (а > 0, а ≠ 1, b 
>0, b ≠ 1)  имеем: х + 1 =3 – х  
х = 1.
6)  При  аb  (а > 0, а ≠ 1, 
b >0, b ≠ 1)   прологарифмируем  исходное  уравнение
по  основанию  а, получим:
     ,    х + 1 = ( 3 – х ) log a b , 
Ответ:  при   а ≤ 0, b ≤ 0  уравнение  не  имеет  смысла;
при   а = b = 1,   х  R;
при  а = 1, b ≠ 1  х = 3.
при  а ≠ 1, b = 1  х = -1
при  а = b   (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)  х = 1
при  аb  (а > 0, а ≠ 1, b >0, b ≠ 1)   
                   Логарифмические  уравнения  с  параметром.                   
Решение  логарифмических  уравнений  с  параметрами  сводится  к  нахождению
корней  элементарного  логарифмического  уравнения. Важным  моментом  решения
уравнений  такого  типа  является   проверка  принадлежности  найденных
корней  ОДЗ  исходного  уравнения.
Пример. Решите  уравнение  2 – log (1 + х) = 3 log а  - log ( х 2 – 1 )2
Решение. ОДЗ: х > 1,  а > 0, а ≠ 1.
Осуществим  на  ОДЗ  цепочку  равносильных  преобразований  исходного
уравнения:
log а а2 + log ( х2 - 1) =  log а ()3 + log a,
log а ( а2 (х2 - 1)) = log а (()3 ),
     а2 (х2 - 1) = (х - 1) ,
     а2 (х - 1) (х + 1) = (х - 1) 
Так  как  х ≠ -1  и  х ≠ 1, сократим  обе  части
уравнения  на  (х - 1) 
     а2 = 
Возведем  обе  части  полученного  уравнения  в  квадрат:
     а4 (х + 1) =  х – 1  а4 х + а4 =  х – 1 х( 1 -  а4 ) =   а4 + 1
Так  как  а ≠ -1  и  а ≠ 1, то  
Для  того  чтобы  значения  х  являлось  решением  уравнения, должно
выполняться  условие  х > 1, то  есть  
Выясним,  при  каких  значениях  параметра  а  это  неравенство  истинно:
     , 
Так  как  а > 0, то  полученная  дробь  положительна, если  1 – 
а4 > 0, то  есть  при
     а < 1.
Итак, при  0 < a < 1,  x > 1, значит  при  0 < 
a < 1  х  является    корнем  исходного  уравнения.
Ответ:  при  а ≤ 0, а = 1  уравнение  не  имеет  смысла;
при   а > 1  решений  нет;
при  0 < a < 1  
ГЛАВА 2
               §1. Разработка  факультативных  занятий  по  теме.               
В  общеобразовательных  классах  данная  тема  не    берется  в  явном  виде.
Она  рассматривается  в  заданиях  более  сложного  характера. Например, при
изучении  темы  "Квадратные  уравнения", можно  встретить  следующие
задания:
1)      При  каком  р уравнение  х2 – 2х + 1 = р  имеет  один  корень ?
2)      При  каких  значениях  параметра  р сумма  корней  квадратного
уравнения
     х2 + ( р 2 + 4р – 5 ) хр = 0  равна  нулю ?
В  классах  с  углубленным  изучением  математики уравнения  с  параметрами
целенаправленно  начинают  изучать  с  8  класса. Именно  в  этот  период
вводится  понятие  "параметр". Основная  задача – научить  учащихся  решать
уравнения  с  одним  параметром.
Ученики  должны  уяснить, что  уравнения  с  параметром – это  семейство
уравнений, определяемых  параметром. Отсюда  и  вытекает  способ  решения:  в
зависимости  от  структуры  уравнения  выделяются  подмножества  множества
допустимых  значений  параметра  и для  каждого  такого  подмножества
находится  соответствующее  множество  корней  уравнения. Нужно  обратить
внимание  на  запись  ответа. В  нем  должно  быть  указано  для  каждого
значения  параметра (или  множества  его  значений), сколько  корней  имеет
это  уравнение  и  какого  вида.
На  факультативных  занятиях  следует  разобрать  следующие  виды  задач:
1)      на  разрешимость: определить  параметры, при  которых  задача  имеет
хотя  бы  одно  решение  или  не  имеет  решений  вовсе.
2)      на  разрешимость  на  множестве: определить  все  параметры, при
которых  задача  имеет  m  решений  на  множестве  М  или  не  имеет  решений
на  множестве М.
3)      на  исследование: для  каждого  параметра  найти  все  решения
заданной  задачи.
Разработка  факультативных  занятий  приведена  в  приложении. Структура
следующая:
Занятие№1. Решение  линейных  и  квадратных  уравнений
с  параметрами.
Занятие№2. Решение  линейных  и  квадратных  уравнений
с  параметрами.
Занятие№3. Решение  дробно-рациональных  и иррациональных
уравнений  с  параметрами.
Занятие№4.  Тест
Занятие№5. Решение  тригонометрических  уравнений
с  параметрами.
Занятие№6. Решение  тригонометрических  уравнений
с  параметрами.
Занятие№7. Решение  показательных  и  логарифмических
уравнений   с  параметрами.
Занятие№8. Тест
Занятие№1
Занятие№2
Занятие №3
Занятие  № 4.
Вариант I.
     
  1. Решите уравнение k(x - 4) + 2 ( х + 1) = 1 относительно х.
а) при k=-2 корней нет; при k=-2 ; б) при k-2 корней нет; при k=-2 ; в) при k=-2 корней нет; при k=-2 и k=0,25 .
  1. Решите уравнение 2а( а - 2)х = а2 – 5а+6 относительно х
а) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ; б) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 ; в) при а=2 х R ; при а=0 корней нет; при а0 и а2 .
  1. При каких значениях b уравнение 1+2х – bx = 4+х имеет отрицательное решение.
а) b<1 ; б) b>1 ; в) b=1
  1. При каких значениях а парабола у = ах2 – 2х +25 касается оси х?
а) а=25 ; б) а=0 и а= 0,04 ; в) а=0,04.
  1. При каких значениях k уравнение (k - 2)x2 = (4 – 2k)x+3 = 0 имеет единственное решение?
а) k=-5, k= -2 ; б) k=5 ; в) k=5, k= 2 .
  1. Решите относительно х уравнение
а)при b+1, b ; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла; б)при b ; при b= реш.нет; при b=±1 нет смысла; в)при b= ; при b=±1 нет смысла.
  1. При каких значениях параметра а уравнение имеет решение
а) а≥ 3 ; б) а=4 ; в) а≥ 0
  1. При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?
а) –0,25≤а≤ 0 ; б) –0,25<а≤ 0 ; в) –0,25<а< 0
  1. При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня?
а) с( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с ( - ∞ ; -1,5√3) Вариант II.
  1. Решите уравнение 2х( а+1)= 3а(х+1)+7 относительно х.
а) при а=-2 корней нет; при а-2 ; б) при а-2 корней нет; при а=-2 ; в) при а-2 и а- корней нет; при а=-2 .
  1. Решите уравнение (а 2 - 81)х = а2 + 7а - 18 относительно х
а) при а=-9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 и а9 ; б) при а=9 х R ; при а=-9 корней нет; при а-9 и а9 ; в) при а= -9 х R ; при а=9 корней нет; при а-9 ;
  1. При каких значениях b уравнение 2+4х-bx=3+х имеет отрицательное решение?
а) b<3 ; б) b<2 ; в) b>3
  1. При каких значениях k уравнение kx2 – (k - 7)x + 9 =0 имеет два равных положительных корня?
а) k=49, k= 1 ; б) k=1 ; в) k=49 .
  1. При каких значениях а уравнение ax2 - 6x+а = 0 имеет два различных корня?
а) а( - 3 ; 0)U(0; 3 ); б) при а( - 3 ; 3) ; в) с( - ∞ ; - 3)U ( 3 ; +∞)
  1. Решите относительно х уравнение
а)при а1,а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла; б) при а2,25, а-0,4, ; а=2,25, а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла; в) при а1, а-0,4, ; а=-0,4,реш.нет; при а=1 нет смысла.
  1. При каких значениях параметра а уравнение имеет решение ?
а) а≥ 2/3 ; б) а≥ 2/3 √6 ; в) а≤ 2/3 √6
  1. При каких значениях а уравнение имеет 2 корня?
а) а≥ 0 ; б) ни при каких ; в) а≥ 1
  1. При каких значениях параметра с уравнение имеет 2 корня?
а) с( - ∞ ; -1,5√3)U(1.5√3; + ∞); б) при с = ±1,5√3; в) с ( - ∞ ; -1,5√3) Занятие №5-6 Занятие №7 Занятие №8. Вариант I.
  1. Решите уравнение 3 cos x = 4b + 1 для всех значений параметра.
а) при b ( -1; 0,5 ) х = ± arcos ; при b(-∞;-1]U[0,5;+∞) реш.нет; б) при b [ -1; 0,5 ] х = ± arcos ; при b(-∞;-1)U(0,5;+∞) реш.нет; в) b(-∞;-1]U[0,5;+∞) х = ± arcos ; b ( -1; 0,5 ) при реш.нет;
  1. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение sin2 x – 3sin x + a =0.
а) a [ -4; 2 ] ; б) а ( -4 ; 2) ; в) а [ - 4; 2 ).
  1. При каких значениях а уравнение cos4 x + sin4 x = a имеет корни?
а) a [ 0,5; 1 ] ; б) а [ -1 ; 0,5 ] ; в) а [ - 0,5; 1 ).
  1. Решите уравнение
а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, а1 х = 2; при а = 1 не имеет смысла. б) при а > 0 х R ; при а = 1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла. в) при а = 1 х R ; при а > 0, а1 х = 2; при а ≤ 0 не имеет смысла.
  1. При каких значениях параметра уравнение 4х а2 х+1 – 3а2 + 4а = 0 имеет единственное решение?
а) 2; б) 1 ; в) -1.
  1. Решите уравнение log a x 2 + 2 log a ( x + 2) = 1.
а) при а ≤ 1 х = 0,5( 2+ ) ; при а =100 х = 1. б) при а > 100 реш. нет; при 1<a<100 х = 0,5( 2+ ); при а =100 х = 1; при а ≤ 1 не имеет смысла . в) при а > 100 реш.нет ; при 1<a<100 х = 0,5( 2+ ) ; при а ≤ 1 не имеет смысла . 7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень 1+ log 2 (ax) = 2 log 2 (1 - x) а) а > 0, а = 2 ; б) а > 0, а = - 2 ; в) а < 0, а = - 2 .
  1. Решите уравнение а > 0, а1
а) а ; ; б) а2 ; - ; в ) а2 ; Вариант II.
  1. Решите уравнение cos (3x +1 ) = b для всех значений параметра.
а) при |b| ≤ 1 х = ; при |b| > 1 реш.нет; б) при |b| ≤ 1 и b=0 х = ; при |b| > 1 реш.нет; в) при |b| > 1 х = ; при |b| < 1 реш.нет;
  1. Найдите все действительные значения параметра а, при которых уравнение cos2 x + asin x =2 a -7.
а) a ( 2 ; 6 ) ; б) а ( 2 ; 4 ] ; в) а [ 2 ; 6 ].
  1. При каких значениях а уравнение cos6 x + sin6 x = a имеет корни?
а) a [ 0,25; 0,5 ] ; б) а [ 0,25 ; 1 ] ; в) а [ - 0,25; 1 ].
  1. Решите уравнение
а) при а ≤ 0 х R ; при а > 0, х = 1; при а = 1 не имеет смысла. б) при а = 1 х R ; при а > 0, а 1 х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла. в) при а > 0х R ; при а = 1 , х = 1; при а ≤ 0 не имеет смысла.
  1. При каких значениях параметра уравнение а( 2 х + 2-х ) = 5 имеет единственное решение?
а) -2,5; 2,5 ; б) 2; 2,5 ; в) –2,5.
  1. Решите уравнение 3 lg (xа) - 10 lg ( x - а)+1 = 0.
а) х = а + 1000, х = а + 3√10 ; б) х = а - 3√10 , х = а –1000 ; в) х = а - 3√10 , х = а + 1000 . 7. Найдите все значения параметра, для которых данное уравнение имеет только один корень а) 4 ; б) -4 ; в) - 2 .
  1. Решите уравнение а > 0, а1
а) -1 ; а ; б) 1 ; - а; в ) 1 ; а Заключение. При решении приведенных выше задач с параметрами происходит повторение и, как следствие, более глубокое прочное усвоение программных вопросов. Ученики расширяют свой математический кругозор, тренируют мышцы интеллекта, при этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать и обобщать. Решение задач с параметрами на факультативных занятиях это помощь при подготовке к экзаменам. Происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли и точность. Литература.
  1. С.И. Новоселов. Специальный курс элементарной алгебры. Москва-1962.
  2. Е.Ю. Никонов. Параметр. Самара – 1998.
  3. Еженедельная учебно-методическая газета "Математика" №36/2001; №4/2002; №22/2002; №23/2002; №33/2002.