Каталог :: Математика

Курсовая: Практическое применение производной

                  Южно-Сахалинский Государственный Университет                  
                               Кафедра математики                               
                             Курсовая работа                             
                Тема: Практическое применение производной                
Автор: Меркулов М. Ю.
Курс: 3
Преподаватель: Лихачева О. Н.
Оценка:
                                 Южно-Сахалинск                                 
                                      2002г                                      
     Введение
В данной работе я рассмотрю применения производной в различных науках и
отраслях. Работа разбита на главы, в каждой из которых рассматривается одна
из сторон дифференциального исчисления (геометрический, физический смысл и т.
д.)
                          1. Понятие производной                          
                        1-1. Исторические сведения                        
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17
столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения
Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика
Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе
изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается
наибольшая дальность полета снаряда.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась
кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в
работах у Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Л.
Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли
Лопиталь, Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
                         1-2. Понятие производной                         
Пусть y = f(x) есть непрерывная функция аргумента x, определенная в промежутке
(a; b), и пусть х0 - произвольная точка этого промежутка
Дадим аргументу x приращение ∆x, тогда функция y = f(x) получит
приращение ∆y = f(x + ∆x) - f(x). Предел, к которому стремится
отношение ∆y / ∆x при ∆x → 0, называется производной
от функции f(x).
       y'(x)=       
           1-3. Правила дифференцирования и таблица производных           
     
C' = 0

(xn) = nxn-1

(sin x)' = cos x
x' = 1

(1 / x)' = -1 / x2

(cos x)' = -sin x
(Cu)'=Cu'(√x)' = 1 / 2√x

(tg x)' = 1 / cos2 x

(uv)' = u'v + uv'

(ax)' = ax ln x

(ctg x)' = 1 / sin2 x

(u / v)'=(u'v - uv') / v2

(ex)' = ex

(arcsin x)' = 1 / √ (1- x2)

(logax)' = (logae) / x

(arccos x)' = -1 / √ (1- x2)

(ln x)' = 1 / x

(arctg x)' = 1 / √ (1+ x2)

(arcctg x)' = -1 / √ (1+ x2)

2. Геометрический смысл производной 2-1. Касательная к кривой Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку M и точку N. Касательной к точке M называется прямая, положение которой стремится занять хорда MN, если точку N неограниченно приближать по кривой к M. Рассмотрим функцию f(x) и соответствующую этой функции кривую y = f(x). При некотором значении x функция имеет значение y = f(x). Этим значениям на кривой соответствует точка M(x0 , y0). Введем новый аргумент x0 + ∆x, его значению соответствует значение функции y0 + ∆y = f(x0 + ∆x). Соответствующая точка - N(x0 + ∆x, y0 + ∆y). Проведем секущую MN и обозначим φ угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Из рисунка видно, что ∆y / ∆x = tg φ. Если теперь ∆x будет приближаться к 0, то точка N будет перемещаться вдоль кривой , секущая MN - поворачиваться вокруг точки M, а угол φ - меняться. Если при ∆x → 0 угол φ стремится к некоторому α, то прямая, проходящая через M и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол α, будет искомой касательной. При этом, ее угловой коэффициент: То есть, значение производной f '(x) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f(x) в точке M(x, f(x)). Касательная к пространственной линии имеет определение, аналогичное определению касательной к плоской кривой. В этом случае, если функция задана уравнением z = f(x, y), угловые коэффициенты при осях OX и OY будут равны частным производным f по x и y. 2-2. Касательная плоскость к поверхности Касательной плоскостью к поверхности в точке M называется плоскость, содержащая касательные ко всем пространственным кривым поверхности, проходящим через M - точку касания. Возьмем поверхность, заданную уравнением F(x, y, z) = 0 и какую-либо обыкновенную точку M(x0, y0, z0) на ней. Рассмотрим на поверхности некоторую кривую L, проходящую через M. Пусть кривая задана уравнениями x = φ(t); y = ψ(t); z = χ(t). Подставим в уравнение поверхности эти выражения. Уравнение превратится в тождество, т. к. кривая целиком лежит на поверхности. Используя свойство инвариантности формы дифференциала, продифференцируем полученное уравнение по t: Уравнения касательной к кривой L в точке M имеют вид: Т. к. разности x - x0, y - y0, z - z0 пропорциональны соответствующим дифференциалам, то окончательное уравнение плоскости выглядит так: F'x(x - x0) + F'y(y - y0) + F'z(z - z0)=0 и для частного случая z = f(x, y): Z - z0 = F'x(x - x0) + F'y(y - y0) Пример: Найти уравнение касательной плоскости в точке (2a; a; 1,5a) гиперболического параболоида Решение: Z'x = x / a = 2; Z'y = -y / a = -1 Уравнение искомой плоскости: Z - 1.5a = 2(x - 2a) - (Y - a) или Z = 2x - y - 1.5a 3. Использование производной в физике 3-1. Скорость материальной точки Пусть зависимость пути s от времени t в данном прямолинейном движении материальной точки выражается уравнением s = f(t) и t0 -некоторый момент времени. Рассмотрим другой момент времени t, обозначим ∆t = t - t 0 и вычислим приращение пути: ∆s = f(t0 + ∆t) - f(t 0). Отношение ∆s / ∆t называют средней скоростью движения за время ∆t, протекшее от исходного момента t0. Скоростью называют предел этого отношения при ∆t → 0. Среднее ускорение неравномерного движения в интервале (t; t + ∆t) - это величина <a>=∆v / ∆t. Мгновенным ускорением материальной точки в момент времени t будет предел среднего ускорения: То есть первая производная по времени (v'(t)). Пример: Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A + Bt + Ct2 +Dt3 (C = 0,1 м/с, D = 0,03 м/с2 ). Определить время после начала движения, через которое ускорение тела будет равно 2 м/с2. Решение: v(t) = s'(t) = B + 2Ct + 3Dt2; a(t) = v'(t) = 2C + 6Dt = 0,2 + 0,18t = 2; 1,8 = 0,18t; t = 10 c 3-2. Теплоемкость вещества при данной температуре Для повышения различных температур T на одно и то же значение, равное T1 - T, на 1 кг. данного вещества необходимо разное количество теплоты Q1 - Q, причем отношение для данного вещества не является постоянным. Таким образом, для данного вещества количество теплоты Q есть нелинейная функция температуры T: Q = f(T). Тогда ΔQ = f(t + ΔT) - f(T). Отношение называется средней теплоемкостью на отрезке [T; T + ΔT], а предел этого выражения при ∆T → 0 называется теплоемкостью данного вещества при температуре T. 3-3. Мощность Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике вводится понятие работы силы. Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности: . 4. Дифференциальное исчисление в экономике 4-1. Исследование функций Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции. По теореме Ферма, если точка является экстремумом функции, то производная в ней либо не существует, либо равна 0. Тип экстремума можно определить по одному из достаточных условий экстремума: 1) Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 . Если производная f '(x) при переходе через точку x0 меняет знак с + на -, то x0 - точка максимума, если с - на +, то x0 - точка минимума, если не меняет знак, то в этой точке нет экстремума. 2) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x 0, причем f '(x0) = 0, f ''(x0) ≠ 0, то в точке x0 функция f(x0) имеет максимум, если f ''(x0 ) < 0 и минимум, если f ''(x0) > 0. Кроме того, вторая производная характеризует выпуклость функции (график функции называется выпуклым вверх [вниз] на интервале (a, b), если он на этом интервале расположен не выше [не ниже] любой своей касательной). Пример: выбрать оптимальный объем производства фирмой, функция прибыли которой может быть смоделирована зависимостью: π(q) = R(q) - C(q) = q2 - 8q + 10 Решение: π'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → qextr = 4 При q < qextr = 4 → π'(q) < 0 и прибыль убывает При q > qextr = 4 → π'(q) > 0 и прибыль возрастает При q = 4 прибыль принимает минимальное значение. Каким же будет оптимальный объем выпуска для фирмы? Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (p(q = 8) = p(q = 0) = 10), то оптимальным решением будет вообще ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений и / или оборудования. Если же фирма способна производить больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей. 4-2. Эластичность спроса Эластичностью функции f(x) в точке x0 называют предел Спрос - это количество товара, востребованное покупателем. Ценовая эластичность спроса ED - это величина, характеризующая то, как спрос реагирует на изменение цены. Если │ED│>1, то спрос называется эластичным, если │ED│<1, то неэластичным. В случае E D=0 спрос называется совершенно неэластичным, т. е. изменение цены не приводит ни к какому изменению спроса. Напротив, если самое малое снижение цены побуждает покупателя увеличить покупки от 0 до предела своих возможностей, говорят, что спрос является совершенно эластичным. В зависимости от текущей эластичности спроса, предприниматель принимает решения о снижении или повышении цен на продукцию. 4-3. Предельный анализ Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике - методы предельного анализа, т. е. совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т. п. на основе анализа их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции - это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных) В экономике часто используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т. д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т. е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисление. 5. Производная в приближенных вычислениях 5-1. Интерполяция Интерполяцией называется приближенное вычисление значений функции по нескольким данным ее значениям. Интерполяция широко используется в картографии, геологии, экономике и других науках. Самым простым вариантом интерполяции является форма Лагранжа, но когда узловых точек много и интервалы между ними велики, либо требуется получить функцию, кривизна которой минимальна то прибегают к сплайн-интерполяции, дающей бóльшую точность. Пусть Kn - система узловых точек a = x0 < x1 <.< xn = b. Функция Sk(x) называется сплайн-функцией Sk(x) степени k≥0 на Kn, если а) Sk(x) є Ck-1([a, b]) б) Sk(x) - многочлен степени не большей k Сплайн-функция Ŝk(x) є Sk(Kn) называется интерполирующей сплайн-функцией, если Ŝk(xj) = f(x j) для j = 0,1,.,n В приложениях часто бывает достаточно выбрать k=3 и применить т. н. кубическую интерполяцию. Т. к. s(x) на каждом частичном интервале есть многочлен третьей степени, то для x є [xj-1 ,xj] Здесь s2j, cj1, cj0 неизвестны для j = 1, 2, ., n Последние исключаются в силу требования s(xj) = yj: Дифференцируя эту функцию и учитывая, что s'(x) на всем интервале и, следовательно, в частности, в узлах должна быть непрерывна, окончательно получаем систему уравнений: относительно n+1 неизвестных s20, s21 ,., s2n. Для однозначного их определения в зависимости от задачи добавляются еще два уравнения: Нормальный случай(N): Периодический случай(P) (т. е. f(x+(xn-x0))=f(x)): Заданное сглаживание на границах: Пример: сплайн-интерполяция функции f(x)=sin x, n=4. Функция периодическая, поэтому используем случай P.
j

xj

yj

hj

yj-yj-1

000π/21
1π/21π/2-1
2π0π/2-1
33π/2-1π/21
40
Сплайн-функция получается такая: 5-2. Формула Тейлора Разложение функций в бесконечные ряды позволяет получить значение функции в данной точке с любой точностью. Этот прием широко используется в программировании и других дисциплинах Говорят, что функция разлагается на данном промежутке в степенной ряд, если существует такой степенной ряд a0 + a1(x - a) + a2 (x - a)2 + . + an(x - a)n + ., который на этом промежутке сходится к данной функции. Можно доказать, что это разложение единственно: Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке a. Степенной ряд вида называется рядом Тейлора для функции f(x), записанным по степеням разности (x - a). Вообще, чтобы ряд Тейлора сходился к f(x) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член ряда стремился к 0. При a = 0 ряд Тейлора обычно называют рядом Маклорена. С помощью ряда Маклорена можно получить простые разложения элементарных функций:

5-3. Приближенные вычисления Часто бывает, что функцию f(x) и ее производную легко вычислить при x = a, а для значений x, близких к a, непосредственное вычисление функции затруднительно. Тогда пользуются приближенной формулой, полученной с помощью формулы Тейлора: Пример: Извлечь квадратный корень из 3654 Решение: , x 0=3654. Легко вычисляются значения f(x) и при x = 3600. Формула при a = 3600, b=54 дает: С помощью этой формулы можно получить несколько удобных формул для приближенных вычислений:

Заключение Применение производной довольно широко и его сложно полностью охватить в работе такого типа, однако я попытался раскрыть основные, базовые моменты. В наше время, в связи с научно-техническим прогрессом, в частности с быстрой эволюцией вычислительных систем, дифференциальное исчисление становится все более актуальным в решении как простых, так и сверхсложных задач. Литература
М. Я. ВыгодскийСправочник по высшей математике

И. Н. Бронштейн,

К. А. Семендяев

Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов

И. М. Уваренков,

М. З. Маллер

Курс математического анализа,т.1

В. А. Дударенко,

А.А. Дадаян

Математический анализ
Н. С. ПискуновДифференциальное и интегральное исчисления
Т. И. ТрофимоваКурс физики

О. О. Замков

А. В. Толстопятенко

Ю. Н. Черемных

Математические методы в экономике

А. С. Солодовников

В. А. Бабайцев

А. В. Браилов

И .Г. Шандра

Математика в экономике
Содержание: Введение 1. Понятие производной 1-1. Исторические сведения 1-2. Понятие производной 1-3. Правила дифференцирования и таблица производных 2. Геометрический смысл производной 2-1. Касательная к кривой 2-2. Касательная плоскость к поверхности 3. Использование производной в физике 3-1. Скорость материальной точки 3-2. Теплоемкость при данной температуре 3-3. Мощность 4. Дифференциальное исчисление в экономике 4-1. Исследование функций 4-2. Эластичность спроса 4-3. Предельный анализ 5. Производная в приближенных вычислениях 5-1. Интерполяция 5-2. Формула Тейлора 5-3. Приближенные вычисления Заключение Список использованной литературы