Каталог :: Математика

Реферат: Поверхности 2-го порядка

Министерство высшего образования Российской Федерации
     ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
                                     РЕФЕРАТ                                     
На тему:
“ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКАФакультет:              ФТиКМ
     Группа:                   РТС-99   
     Студент:                Коцурба А.В.
     5(отл.)Преподаватель: Лебедева Г.А.
                                     Иркутск                                     
                                                          1999
Поверхности второго порядка
     Поверхности второго порядка – это поверхности, которые в прямоугольной
системе координат определяются алгебраическими уравнениями второй степени.
     1.      Эллипсоид. 
           Эллипсоидом
называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат
определяется уравнением:                  
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Установим геометрический вид эллипсоида. Для этого рассмотрим сечения данного
эллипсоида плоскостями, параллельными плоскости Oxy. Каждая из таких
плоскостей определяется уравнением вида z=h, где h – любое
число, а линия, которая получается в сечении, определяется двумя уравнениями
               (2)
Исследуем уравнения (2) при различных значениях h.
1)     Если > 
c (c>0), то   
и уравнения (2) определяют мнимый эллипс, т. е. точек пересечения плоскости 
z=h с данным эллипсоидом не существует.
2)     Если , то  
и линия (2) вырождается в точки (0; 0; + c) и (0; 0; - c)
(плоскости  
касаются эллипсоида).
3)     Если , то уравнения (2) можно представить в виде
     
откуда следует, что плоскость z=h пересекает эллипсоид по эллипсу с
полуосями  и 
. При уменьшении  
значения и 
увеличиваются и достигают своих наибольших значений при 
, т. е. в сечении  эллипсоида координатной плоскостью Oxy получается
самый большой эллипс с полуосями  
и .
Аналогичная картина получается и при пересечении данной поверхности плоскостями,
параллельными координатным плоскостям Oxz и Oyz.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллипсоид как
замкнутую овальную поверхность (рис. 156). Величины a, b, c называются 
полуосями эллипсоида. В случае a=b=c эллипсоид является сферой.
     2.   Однополосный гиперболоид.
     
     Однополосным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
              (3)
Уравнение (3) называется каноническим уравнением однополосного гиперболоида.
Установим вид поверхности (3). Для этого рассмотрим сечение ее координатными
плоскостями Oxy (y=0) и Oyx (x=0). Получаем соответственно уравнения
        и        
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными
координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется
уравнениями
            или         (4)
из которых следует, что плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с
полуосями     и  
,
достигающими своих наименьших значений при h=0, т.е. в сечении данного
гиперболоида координатной осью Oxy получается самый маленький эллипс с
полуосями a*=a и b*=b. При бесконечном возрастании  
величины a* и b* возрастают бесконечно.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить однополосный
гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно расширяющейся по мере
удаления (по обе стороны) от плоскости Oxy.
     
Величины a, b, c называются полуосями однополосного гиперболоида.
     3.      Двуполостный гиперболоид.
Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
        (5)
Уравнение (5) называется каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.
Установим геометрический вид поверхности (5). Для этого рассмотрим его
сечения координатными плоскостями Oxy и Oyz. Получаем соответственно
уравнения
         и   
из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями z=h, параллельными
координатной плоскости Oxy. Линия, полученная в сечении, определяется
уравнениями
       или            (6)
из которых следует, что при  
>c (c>0) плоскость z=h пересекает гиперболоид по эллипсу с полуосями    
и  . При
увеличении  
величины a* и b* тоже увеличиваются.
При     уравнениям
(6) удовлетворяют координаты только двух точек: (0;0;+с) и (0;0;-с)  (плоскости   
касаются данной поверхности).
При   уравнения (6)
определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным
гиперболоидом не существует.
Величина a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида.
     4.     Эллиптический параболоид.
Эллиптическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
     
       (7)
где p>0 и q>0.
Уравнение (7) называется каноническим уравнением эллиптического параболоида.
Рассмотрим сечения данной поверхности координатными плоскостями  Oxy и Oyz.
Получаем соответственно уравнения
       и  
из которых следует, что в сечениях получаются параболы, симметричные
относительно оси Oz, с вершинами в начале координат.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями z=h, параллельными
координатной плоскости Oxy. Линия, получающаяся в сечении, определяется
уравнениями
       или           (8)
из которых следует, что при  
плоскость z=h пересекает эллиптический параболоид по эллипсу с полуосями   
и . При увеличении h
величины a и b тоже увеличиваются; при h=0 эллипс вырождается в точку
(плоскость z=0 касается данного гиперболоида). При h<0 уравнения (8)
определяют мнимый эллипс, т.е. точек пересечения плоскости z=h с данным
гиперболоидом нет.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить эллиптический
параболоид в виде бесконечно выпуклой чаши.
Точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его параметрами.
В случае p=q уравнение (8) определяет окружность с центром на оси Oz, т.е.
эллиптический параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную
вращением параболы вокруг её оси (параболоид вращения).
     5.     Гиперболический параболоид.
     Гиперболическим параболоидом называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат, определяется уравнением
       (9)                 
где p>0, q>0.
Уравнение (9) называется каноническим уравнением гиперболического параболоида.
Рассмотрим сечение параболоида плоскостью Oxz (y=0). Получаем уравнение
       (10)
из которых следует, что в сечении получается парабола, направленная вверх,
симметричная относительно оси Oz, с вершиной в начале координат. В сечениях
поверхности плоскостями, параллельными плоскости Oxz (y=h), получаются так же
направленные вверх параболы.
     
рассмотрим сечение данного параболоида плоскостью Oyz (x=0).
Получаем уравнение
     
из которых следует, что и в этом случае в сечении получается парабола, но
теперь направленная вниз, симметричная относительно оси Oz, с вершиной в
начале координат. Рассмотрев сечения параболоида плоскостями, параллельными
плоскости Oyz (x=h), получим уравнения
     
из которых следует, что при любом h в сечении получается парабола,
направленная вниз, а вершина её лежит на параболе, определённой уравнениями
(10).
Рассмотрим сечения параболоида плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy .
получим уравнения
      или  
из которых следует, что при h>0 в сечении получаются гиперболы, пересекающие
плоскость Oxy; при h<0 – гиперболы, пересекающие плоскости Oyz; при h=0 –
гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых
       и  
точка (0;0;0) называется вершиной параболоида; числа p и q – его  параметрами.
     6.  Конус второго порядка.
Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой
прямоугольной системе координат определяется уравнением
     
       (11)
Рассмотрим геометрические свойства конуса. В сечение этой поверхности
плоскостью Oxy (y=0) получаем линию
     
распадающуюся на две пересекающиеся прямые
       и  
Аналогично, в сечении конуса плоскостью Oyz (x=0) также  получаются две
пересекающиеся прямые
       и  
Рассмотрим сечения поверхности плоскостями z=h, параллельными плоскости Oxy.
Получим
       или  
из которых следует, что при h>0 и h<0 в сечениях получаются эллипсы с
полуосями    .
При  увеличении абсолютной величины h полуоси a* и b* также увеличиваются.
При h=0 линия пересечения поверхности с плоскостью z=h вырождается в точку
(0;0;0).
     Cписок использованной лит-ры:
                          1.Шипачёв В.С.:”Высшая мат-ка”
     Если сдал РЕФЕРАТ, то отправь свои данные в коллекцию!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!