Каталог :: Литература

Доклад: Пятый постулат

     Имя Евклида навсегда связано с одним из ответвле­ний
математики, получившим название „евклидова г
еометрия". Столь прочная слава закрепилась за Евклидом заслуженно, благодаря его
труду ..Начала". В шко­лах всего мира, долгие
столетия геометрия преподава­лась по ..Началам"
Евклида. В английских школах до сегодняшнего дня учебники геометрии по своей
форме напоминают этот ученый трактат. В мировой литературе „Начала" принадлежат
к числу самых популярных и рас­пространенных математических трудов. Несмотря на
столь огромную популярность Евклида как автора ..
Начал", сам он, его облик и жизненный путь известны очень мало
. Нет исторически верных сведений о его жизни, неизвестны даже точные даты
его рождения и смерти. По сведениям оставленным потомству 
Проклом (410—485), автором комментариев к „Началам", дея­тельность Евклида
проходила во время правления Птолемея 
Сотера 1 (305—282 гг до н.э.). При этом царе,
столица Египта Александрия стала центром научной и
культурной жизни тогдашнего мира, и привлекала к себе многих выдающихся ученых
со всех сторон, в частности, из Греции. В знаменитой в те времена
Александрийской школе работали тогда многие светила математики и сре­ди них
Евклид, который был одним из первых ее препода­вателей. Дошедшие до нас
произведения Евклида, свиде­тельствуют о том, что это был весьма способный и
даже талантливый преподаватель. Существует мнение, что Евклид был воспитанником
Платоновской академии, где, имея доступ к лучшим трудам греческих математи­ков
и философов, достиг высот тогдашних научных зна­ний. Действительно,
произведения Евклида носят на себе признаки увлечения платоновской философией:
Евклид, например, в своих трактатах весьма тщательно избегает проблем
практического порядка. Некоторый свет на Ев­клида как человека, математика и
философа, проливают два анекдота, правдивость которых, впрочем, как и
прав­дивость вообще всех анекдотов, может быть взята под сомнение.
Рассказывают, например, что однажды царь Птолемей 
1, листая книгу ..Начал" обратился к автору с
вопросом нет ли более простых путей к овладению наукой геометрии, на что Евклид
ответил: В геометрии нет осо­бых дорог даже для царей". В другом анекдоте
говорит­ся, чтр один из учеников Евклида, изучая
геометрию и ознакомившись с первой аксиомой спросил что ему даст изучение
геометрии? Вместо ответа Евклид подозвал не­вольника и распорядился. „Дай ему
обола, ибо этот чело­век ожидает прибыли от науки". Математик 
Папп (320 г. н. э.) 
восторгается необыкновенной честностью, скро­мностью, кротостью и одновременно
независимостью, какими чертами характера отличался Евклид. Евклид был весьма
плодовитым автором различных тру­дов. Известно, что его перу принадлежит не
менее 10 трактатов, из которых „Начала", состоящие из 13 книг считаются
крупнейшим произведением в истории мате­матики. Это первый, сохранившийся
математический трактат, в котором со всей полнотой отразился дедукти­вный
метод. ..Начала" носят характер учебника, в
кото­ром Евклид дал полный свод математических знаний своих предшественников.
Таким образом, Евклида труд­но считать самостоятельным автором содержания
„На­чал", за небольшими исключениями, касающимися ко­нусных сечений и
сферической геометрии. Но в „Нача­лах" Евклид проявил себя великолепным
систематиком и выдающимся педагогом из всех существовавших за всю историю
математики. ..Начала" были написаны око­ло 300
года до н.э., но древнейшие, сохранившиеся руко­писи на греческом языке
восходят всего лишь к Х ве 
нашего летосчисления. Со времен 1 века нашей 
зр' ранилось только несколько отрывков
папируса с ским текстом. Несмотря на отсутствие 
оригинг даря кропотливому труду ученых, сравнил
и внейшие, сохранившиеся рукописи, удалось с полной
до­стоверностью восстановить первоначальный текст заме­чательного труда
Евклида. Из тринадцати книг ..Начал" первая,
вторая, третья и четвертая а также шестая, посвящены геометрии на пло­скости, в 
одинадцатой, двенадцатой и тринадцатой при­ведены основы стереометрии,
остальные книги ..Начал" посвящены теории
пропорций и арифметике. В начале труда Евклид приводит десять первичных тео­рем
— без доказательств, из которых пять первых назвал аксиомами, а остальные —
постулатами и ввел необхо­димое число определений. Опираясь на этой 
сиСтеме ак­сиом и постулатов, Евклид дает доказательства 465 тео­рем
распределенных в цепочку, очередные звенья кото­рой логически вытекают из
предыдущих звеньев или из аксиом. Пятая, так называемая 
,,Аксиома параллельно­сти" на целые века заняла умы многих математиков.
Сначала, как например, Птолемей в древности и потом, уже в XVIII веке ученые
пытались дать доказательство этой аксиомы и после многих неудачных попыток
приня­ли четыре первые аксиомы без доказательств; в конце концов, отказ от
пятой аксиомы привел к возникновению новой теории, получившей название
неевклидовой геометрии.
Одна из теорем, приведенная в „Началах", авторство которой приписывается
Евклиду, известна из школьного курса и гласит: ..
Площадь квадрата построенного на вы­соте прямоугольного треугольника опущенной
из прямо­го угла на гипотенузу, равновелика площади прямоу­гольника со
сторонами равными отрезкам гипотенузы, полученными от пересечения ее высотой"
Другие произведения Евклида не сохранились. О том, что они существовали
свидетельствуют упоминания в трудах др
угих математиков.
Историю древнегреческой математики можно подразде­лить на три периода: первый —
необыкновенно буйное, почти стихийное развитие,
второй — период сомнений, критического отношения к новым трудам и, наконец,
третий — период упорядочения результатов полученных великими учеными прошлого.
Труд Евклида относится именно к этому последнему периоду.
Велики заслуги Евклида. О том, как высоко оценены его труды, свидетельствует
факт, что „Начала" оставались фундаментальным математическим трудом на
протяже­нии свыше 2000 лет.
Как известно, в III веке до нашей эры греческий геометр Евклид в своей книге
«Начала» сформулировал систему аксиом, из которых последовательно, одна за
другой, выводятся все основные теоремы гео­метрии. И никогда не получалось
двух противоречащих друг другу теорем, доказательства которых рав­ноправно
вытекали бы из принятой системы аксиом. Это означает, что аксиоматика Евклида
непротиво­речива.
Аксиомы евклидовой геометрии являются продуктом повседневных человеческих
наблюдений, кроме одной — аксиомы о параллельных, называемой также пятым
постула­том. Кто сформулирует эту аксиому?
Ученик. Насколько я помню: через точку вне прямой можно провести в их
плоскости только одну прямую, не пересекающую данной.
Ведущий. У Евклида в «На­чалах» несколько иная формулиров­ка, но суть та же.
И вот эту аксиому, в отличие от остальных, никаким опытом не подтвердишь, не
опро­вергнешь, ведь на практике воспро­изводимы лишь отрезки прямых, но
никогда сами прямые во всей их бесконечной протяженности.
Ученик. Но если этот пятый постулат непроверяем физически, то, может быть,
следовало исключить его из числа аксиом и доказывать как теорему, опираясь на
остальные аксиомы?
Ведущий. Так оно и было. Ве­ками длились попытки придумать до­казательство — не
удавалось никому. В тайну этих неудач именно и про­ник Н. И. Лобачевский
глубоко и окончательно: пятый постулат недо­казуем и от -господствовавшего бо
лее двух тысяч лет убеждения, чт( евклидова геометрия есть единствен ная
мыслимая система геометриче ского познания мира,
необходимо от казаться.
1-й ученик. Вечный... пятый. От Евклида
И до этих вот снегов
Постулат, как черный идо
В жертву требует умов...
2-й ученик. «Постулат недоказуем!»
Даже страшно произнесть.
Ах, догматики! Грозу им
Принесет такая весть.
3-й ученик. На уроках гео­метрии учитель говорил нам, что Лобачевский создал
«неевклидову геометрию», в которой через точку можно провести более одной
линии, не пересекающей данную прямую.
Ведущий. Верно. Лобачевский заменил евклидов пятый постулат более общей аксиомой
параллель­ности, сохранив прочие аксиомы и постулаты. Чтобы легче было понять
смысл аксиом Лобачевского, возьмем прямую АВ и -вне ее точ­ку С. Пусть 
САВ прямой.
Построим луч СD, пересекающий прямую АВ в точке D, 
лежащей вправо от точки А, и вообразим, что он вращается против часовой
стрелки. По мере вращения луча СD непосредственное наблюдение
пере­сечения его с АВ становится неосу­ществимым. По этой причине будет
логически правомерным изменить на­ше представление о прямой линии и луче,
которое теперь позволило бы нам вообразить, что луч СD в ка­кой-то
момент своего вращения «от­рывается» от прямой АВ, т. е. пере­стает
иметь с ней общую точку.
Тогда «прямую» (аа'), содер­жащую луч, впервые «оторвавший­ся» от 
АВ, назовем прямой, параллельной прямой АР в направлении луча АВ.
Рассмотрев симметрию с осью 4С, видим, что есть «прямая» (ЬЬ'), 
симметричная «прямой» {аа') и про­ходящая через точку С (рис.
39). Ясно, что и эту «прямую» (ЬЬ') сле­дует считать параллельной 
АВ, но уже в направлении луча АВ'. Следо­вательно, через С 
проходят две «пря­мые», параллельные прямой ВВ'.
С каждой из этих «прямых» луч СА, перпе
ндикулярный прямой В'В, образует угол 
л(р), названный Лобачевским углом
параллельности. Угол p (р) 
зависит от длины СА==р и имеет следующее свойство: все прямые,
проходящие через С и об­разующие с перпендикуляром 
СА угол, меньший л 
(р), пересекают В'В, все остальные «прямые», про­ходя
щие через С , не пересекают В'В, 
их называют расходящимися прямыми или сверхпараллелями к прямой В'В. 
Через С проходит бесконечное мно­жество таких «прямых».
В частном случае, когда p (р) ==90°,
получается постулат Евклида и соблюдаются все предложения обычной геометрии,
«употребитель­ной», как называл ее Н. И. 
Лобачевский.
Угол p (р) возрастает и прибли­жается к прямому углу при приближении
точки С к прямой В'В .
Из допущения, что p (р)
<90° вытекают совершенно иные следствия, 
составляющие содержание но вой геометрии, так же 
непротиворечивой, как и евклидова геометрия но значительно точнее, чем 
евклидова, отображающей пространственные 
геометрические и физические соотношения, например,
за предела ми мировых областей «средней 
величины».
Оказалось также, что взаимосвязь пространства и
времени, от крытая X. Лоренцом, А. 
Пуанкаре, А. Эйнштейном и Г. Минковским и
описываемая в рамках специаль­ной теории относительности, имеет
непосредственное отношение к гео­метрии Лобачевского. 
Например, в расчетах современных синхрофазо­тронов используются формулы
гео­метрии Лобачевского.
Такую геометрию Лобачевский сначала назвал
«воображаемой», а потом (в конце жизни)—«пангеометрией», т. 
е. всеобщей геомет­рией. Теперь ее во всем мире на­зывают «геометрией
Лобачевского».
Ученик.
Был мудрым Евклид,
Но его параллели,
Как будто бы вечные сваи легли.
И мысли его, что как стрелы летели,
Всегда оставались в пределах Земли.
А там, во вселенной, другие законы,
Там точками служат иные тела.
И там параллельных лучей миллионы
Природа сквозь Марс, может быть, провела.
Ведущий. Из понимания па­раллельности «по Лобачевскому»
вйтекает много диковинных на пер­вый взгляд, но строго обоснован­ных
следствий.
Ученик. Каких?
Ведущий. Например, в про­странстве Лобачевского 
параллель­ные прямые неограниченно сбли­жаются в направлении параллель­
ности и потому существу­ют «бесконечные треугольники», сто­роны которых
попарно параллельны , но нет подобных много­угольников.
Ученик.
Скоро порохом вспыхнет рассветная тишь.
Ты на четкий чертеж неотрывно глядишь.
После встал, потянулся устало.
Вечность тайну тебе нашептала,
И душой изумленной увидел ты то,
Что доселе не знал и не ведал никто:
Параллели стрелою нацелены в высь,
Параллели пронзают межзвездные дали.
Параллели — ты, чуешь? — стремятся ойтись,
Только сразу такое постигнешь едва ли.
Ведущий. В геометрии Лоба­чевского интересна и важна такая теорема: «Сумма углов
треугольни­ка всегда меньше 180°».
Ученик. Позвольте на минутку перебить Вас. У Данте есть такие строки:
Как для смертных истина ясна,
Что в треугольник двум тупым не влиться.
Теперь-то нам понятно, что не мо­жет быть двух тупых углов не только в нашем
«земном» треугольнике, но и в «звездном» треугольнике гео­метрии
Лобачевского...
Ведущий. Очень интересно, но задержимся еще немного на тре­угольнике в
геометрии Лобачевского.
Пусть a,b и g— углы треуголь­ника, тогда число d= 180°— (a +b+g)
называют «дефектом треугольника» и справедлива поразительная фор­мула
выведенная Н. И. Лобачевским d= S/R2,
где где S—площадь треугольника, а R
— число, одинаковое для всех треугольников Величину К, имеющую
размерность длины, назы­вают радиусом кривизны, 
простран­ства Лобачевского, а отрицательную величину k=1/R2 
кривизной этого
пространства.
В евклидовом пространстве d=0 (так как 
a +b+g=180°), поэтому его кривизна считается равной нулю.
Получается так, что наша «упо­требительная» геометрия является предельным (при
dà 0) случаем геометрии Лобачевского.
1-й ученик.
В мире все криволинейно.
Прямота лишь сферы часть.
И Евклидово ученье
В космосе... теряет власть.
Ученик. Послушайте стихотво­рение поэта Александра 
Лихолета (Донецк), напечатанное в альмана­хе «Истоки» 
(М.: Молодая гвардия, 1983).
     Лобачевский
«Все! Перечеркнуты «Начала».
Довольно мысль на них скучала,
Хоть прав почти во всем Евклид,
Но быть не вечно постоянству:
И плоскость свернута в пространство,
И мир
Иной имеет вид...
О чем он думал во вчерашнем?
О звездном облаке, летящем
Из ниоткуда в никуда?
О том, что станет новым взглядом:
Две трассы, длящиеся рядом,
Не параллельны никогда?
Что постоянному движенью
Миров сопутствует сближенье,
И, значит, встретятся они:
Его земная с неземными
Непараллельными прямыми
Когда-нибудь, не в наши дни?..
Ведущий. Открытие Лобачев­ского настолько опередило развитие математической
мысли того времени, было настолько непредвиденным и смелым, что во всем мире
почти никто из математиков—его современников — не был готов к восприя­тию
идей «воображаемой геомет­рии». Поэтому при жизни Лобачевский попал в тяжелое
положение «непризнанного ученого». Приведу один любопытный факт обществен­ной
жизни того времени.
Могучий «властитель дум» пере­довой интеллигенции — Н. 
Г. Черны­шевский. Казалось, он-то мог, хотя бы интуитивно, ощутить в
утвержде­ниях геометрии Лобачевского идею революционного переосмысливания
веками укоренившейся системы вос­приятия пространства. Увы, так не случилось.
Иначе Чернышевский не иронизировал бы в письме к сы­новьям: «Что такое
«кривизна луча» или «кривое пространство»? Что та­кое геометрия без аксиомы
парал­лельных?» Он сравнивает это с «воз­ведением сапог в квадраты» и
«из­влечением корней из голенищ» и го­ворит, что это столь же н
елепо, как «писать по-русски без глаголов», (А ведь Фет писал без глаголов и
получалось здорово: «Шелест, робкое дыханье, трели соловья
».)
1-й ученик.
Отшатнулись коллеги, отстали друзья.
Может, в партии жизни зевнул ты ферзя ?
2-й ученик
—         Чушь,— кричат,— Лобачевский,—нелепица, бред
Ничего смехотворней и в мире-то нет!
Параллели не встретятся — это же просто, 
Как дорога от города и до погоста!
Ну хоть рельсы возьми, пересечься им что-ли,
Хоть сто лет рассекая раздольное поле?
3-й ученик.
Где ж понять им: коль к звездам протянутся рельсы,
Окунутся с разбега в иные законы.
Там, где в нуль обращается зябнущий Цельсий,
Мировые законы пока потаенны.
4-й ученик.
Проплывают в ухмылке ученые лица,
И насмешек у сердца стоит ледостав.
Так неужто же он, Лобачевский, смирится?
Нет, он целому миру докажет, что прав!
Ведущий. Потребовалось пол­века для того, чтобы идеи Лоба­чевского сделались
неотъемлемой частью математических наук, про­никли в механику, физику,
космоло­гию, стали общекультурным достоя­нием. Так, в «Братьях Карамазовых»
Иван, обладающий, по словам авто­ра романа, 
«евклидовским» харак­тером ума, .говорит:
«Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я сам это увижу; увижу и скажу, что
сошлись, а все-таки не приму...» Это значит, что Достоевский имел отчетливое
представление о новой геометрии.