Каталог :: Экономико-математическое моделирование

Курсовая: Исследование эмпирической зависимости

                             ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ                             
                         РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ                         
                                   ОБРАЗОВАНИЮ                                   
                           МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ                           
                       ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ                       
                                  И АВТОМАТИКИ                                  
                            (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)                            
                                 КУРСОВАЯ РАБОТА                                 
                 ТЕМА: «Исследование эмпирической зависимости».                 
КУРС: «Математическое моделирование экономических процессов».
                                                        Студентки группы МФ-3-95
                                                               Франковской К. И.
____________________________________________________________________________М
ОСКВА
1998
     

План

1. Введение 2. Исходные данные 3. Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости 3.1. Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических координатах 3.2. Построение производной 3.3. Построение темпа производной 4. Исследование на приближение к степенной зависимости 4.1. Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости 4.2. Построение графика BÖX 4.3. Построение графика эмпирической последовательности в логарифмических координатах 5. Заключение 6. Используемая литература 7. Приложение 1. Введение Анализ эмпирических данных используется в качестве анализа многих экономических показателей для возможности прогнозирования изменения этих показателей. Прогнозированием различной экономической динамики занимаются технический и фундаментальный анализы. Технический анализ по результатам исследования предоставляет конкретное решение по действиям, а на базе фундаментального анализа, можно построить прогноз динамики изменения конкретного показателя в будущем. В качестве исследуемой последовательности будет взят эмпирический набор экономических данных, имеющий растущую тенденцию изменения во времени. Данные исследования эмпирических данных будут проводиться с целью выявления некоторых функциональных зависимостей между ними, а также математической модели, к которой наиболее близко приближается эмпирическая зависимость. В данной курсовой работе будет проведен анализ двух эмпирических последовательностей на соответствие математическим моделям роста, таким как экспоненциальная зависимость и степенная зависимость. 2. Исходные данные В качестве исходных последовательностей взяты статистические данные из книги «Историческая статистика Соединенных Штатов Америки» – Эмиграция в США из Центральной Европы с 1886 по 1915 год и Эмиграция в США из СССР и стран Балтии с 1886 по 1915 год. График исходных данных представлен на листе 1 (см. Приложение). Эмиграция в США Эмиграция в США из Центральной Европы из СССР и стран Балтии (Венгрия, Австрия) (Литва, Эстония, Латвия, Финляндия) 3.Исследование на приближение к экспоненциальной зависимости 3.1 Построение графика эмпирической зависимости в полулогарифмических координатах Уравнение экспоненциальной функции имеет следующий вид: X=Cekt , что является решением дифференциального уравнения: dX/dt = KX . Проинтегрировав это уравнение получим линейную зависимость lnX по t: lnX = kt + lnC . Эмиграция из Центральной Европы Эмиграция из СССР и стран Балтии Формула, указанная выше позволяет нам сделать утверждение, что если данные последовательности эмпирических данных приближаются к экспоненте, то график зависимости lnX от времени должен находиться в линейном коридоре. Иными словами, если последовательность представляет собой экспоненциальную функцию, то ее график в полулогарифмических координатах спрямляется. По данному графику определяется темп роста, равный K = D2/D1 = (lnX2 – lnX1)/(t2-t1) , параметр lnC влияет на расположение прямой на плоскости. Графики зависимости lnX от t представлены на листе 2 (см. Приложение). Темп роста К, определенный по графикам, равен для графика зависимости Эмиграции в США из Центральной Европы – 0,11, для графика зависимости Эмиграции из СССР и стран Балтии – 0,13. 3.2 Построение производной Производная эмпирической последовательности рассчитывается по формуле: X´(ti) = (Xi – Xi-1)/(ti – ti-1) . Графики производной изображены на листе 3 (см. Приложение) и представляют собой колебания, имеющие увеличивающуюся амплитуду во времени. Это показывает на то, что скорость роста обеих эмпирических зависимостей во времени увеличивается. Эмиграция в США из Эмиграция в США из СССР и Центральной Европы стран Балтии 3.3 Построение темпа производной График изменения темпа производной строится с использованием формулы: X´(ti)/X(ti) = (Xi – Xi-1)/Xi(ti – ti-1) . Эмиграция в США из Эмиграция в США из Центральной Европы СССР и стран Балтии В результате построений получен график, представляющий собой колебания с различной амплитудой относительно прямой, равной темпу роста К, который характеризует скорость роста логарифма эмпирической последовательности. 4. Исследование на приближение к степенной зависимости 4.1 Построение обратного темпа роста интеграла степенной зависимости Степенная функция имеет вид: X = X0(t – t0)B , который является решением дифференциального уравнения следующего вида: dX\dt = BX/(t – t0) . Производная степенной функции равна: X´ = BX0(t – t0)B-1 . Темп роста степенной функции равен: X´/X = B/(t – t0) , а обратный темп роста степенной функции имеет следующий вид: X/X´ = (t – t0)/B . Но график обратного темпа имеет очень сильные колебания, что не позволяет с большой точностью отследить тенденцию графика. В следствие этого будет построен график обратного темпа интеграла степенной функции, имеющий более сглаженные колебания и позволяющий достаточно точно определить тегнденцию графика. График обратного темпа интеграла в идеальном случае имеет вид прямой с коэффициентом наклона равным В, которая пересекает ось абсцисс в точке t0 . Интеграл степенной функции вычисляется по формуле : Y = X´(t – t0)B+1/B+1 . А обратный темп роста интеграла равен: Y´/Y = X/Y = (B+1)/(t – t0) . Коэффициент наклона прямой В может быть найден из графика по формуле: B = ctga - 1 , или, другими словами, разности отношения приращения аргумента (D1) к приращению функции (D2) и 1. Обратный темп интеграла степенной зависимости рассчитывается по формуле: Y/Y´ = S(XDt)/X . Эмиграция в США Эмиграция в США из Центральной Европы из СССР и стран Балтии Полученные графики расположены на листе 5 (см. Приложение). Так как графики зависимостей не имеют ярко выраженной тенденции по приближению к степенной функции, в качестве искомой прямой была взята общая тенденция роста данного графика, полученная с помощью метода наименьших квадратов. На основе данных графиков получены следующие значения параметров прямой: ¨ График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из Центральной Европы: t0 = 1877, B = 2.5 ¨ График обратного темпа интеграла зависимости Эмиграция в США из СССР и стран Балтии: t0 = 1875.5, B = 2.9 4.2 Построение графика BÖX Для проверки правильности значений коэффициента наклона В и начального времени t 0, построен график зависимости BÖX от времени. Полученые графики расположены на листе 6 (см. Приложение). Поскольку, как и в предыдущем случае, невозможно выделить четкую линейную тенденцию графиков эмпирических последовательностей. Поэтому путем проведения прямой через минимумы графика и прямой через максимумы графика, ищется прямая, расположенная на одинаковом расстоянии от обеих прямых. В результате проведенных построений определились значения t0. В обоих случаях они не совпадают со значениями, полученными в результате предыдущих построений. ¨ Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы новое значение t0 = 1890. ¨ Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии новое значение t0 = 1883. Эмиграция в США Эмиграция в США из Центральной Европы из СССР и стран Балтии 4.3 Построение графика эмпирической последовательности в логарифмических координатах Как было сказано выше, степенная функция имеет вид:

X = X0(t – t0)B . Прологарифмировав обе части, получаем линейную зависимость lnX от lnT, где Т = t – t0: LnX = lnX0 + Bln(t – t0) . Графики зависимости lnX от lnТ построены с учетом обоих значений t0. Для значений t0 (t – t0 = T1, t0= 1877 для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы, t0 = 1875,5 для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании графиков обратного темпа роста интеграла эмпирической последовательности, графики имеют вид, представленный на листе 7 (см. Приложение). Эмиграция в США Эмиграция в США из Центральной Европы из СССР и стран Балтии Как и в предыдущем случае, проводится прямая, находящаяся на одинаковом расстоянии от прямой, проведенной через минимумы графика и прямой, проведенной через максимумы графика. Коэффициент наклона данной прямой в этом случае будет равняться ¨ Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В = 2,39; ¨ Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии В = 2,73. Для значений t0 (t – t0 = T2, t0 = 1890 для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы, t0 = 1883 для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии), полученных при исследовании графиков BÖX , графики имеют вид, представленный на листе 8 (см. Приложение). Эмиграция в США Эмиграция в США из Центральной Европы из СССР и стран Балтии Из аналогично обработанноых графиков эмпирических последовательностей получены новые значения коэффициентов наклона прямых, равные ¨ Для последовательности Эмиграция в США из Центральной Европы В = 2,44; ¨ Для последовательности Эмиграция в США из СССР и стран Балтии В = 1,82. 5.Заключение В результате проведенных исследований были построены графики эмпирических зависимостей и из них получено: · эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,11 · эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии приближается к экспоненциальной зависимости с темпом роста К=0,13 · эмпирическая последовательность Эмиграция в США из Центральной Европы приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0. При построении графиков были получены следующие значения параметров: В=2,5 t0= 1877 В=2,39 t0= 1890 В=2,44 · эмпирическая последовательность Эмиграция в США из СССР и стран Балтии приближается к степенной зависимости с параметрами В и t0. При построении графиков были получены следующие значения параметров: В= 2,9 t0= 1875,5 В= 2,73 t0= 1883 В= 1,82 6. Используемая литература 1. Statistical History of USA. 7. ПРИЛОЖЕНИЕ