Каталог :: Экономико-математическое моделирование

Доклад: Операции с ценными бумагами

1.Введение
Рассмотрим модель (B,S)- рынка , функционирующего в моменты времени n=0,1,...,
N<¥ , и состоящего из двух активов - банковского счета В=(Вn)
и акции S=(Sn).Согласно этой модели для банковского счета следующие
реккурентные соотношения
         Bn=(1+r)Bn-1 , B0>0,  (1.1)         
где процентная ставка r>0.
Стоимость акции S=(Sn) изменяется по закону
Sn=(1+pn)Sn-1 , S0>0,           (1.2)
где p=(pn)- ” хаотическая “ последовательность , причем pn 
принимают только два значения a и b такие , что
                                -1<a<r<b                                
Инвестор , оперирующий на (B,S) - рынке может поместить часть капитала на
банковский счет , а часть - в акции. Пусть в момент времени n инвестор имеет b
n- облигаций и gn-акций. Следовательно капитал инвестора в
момент n есть
   Xn=bnBn+gnSn ,(1.3)   
а pn=(bn, gn)образует портфель инвестора в момент времени n.
На (B,S) рынке участник может выпустить ценную бумагу-опцион купли
Европейского типа , дающую право ее покупателю приобрести у него в некоторый
фиксированный момент времени N акции по оговоренной контрактом цене K.
Если в момент времени N Sn>K , то владелец опциона предъявит его к
исполнению , то есть купит акции по цене K. После этого он может их продать и
получить прибыль Sn-K. Если цена акции Sn будет меньше
или равна К , то покупатель не предъявит опцион к исполнению так как не получит
никакой прибыли. То есть продавец опциона должен выплатить его покупателю max(S
n-K).
Цена на опцион определяется исходя из того , что продавец опциона должен
получить от покупателя такую сумму минимальную сумму , чтобы в любой из
возможных ситуаций.обеспечить выполнение условий контракта.
2.Расчет стоимости и хеджирующей стратегии для одного периода Европейского
колл-опциона.
Пусть
S-текущая цена акции
С-цена колл-опциона
К-цена исполнения опциона
r-безрисковый процент
Сa-выплата по опциону в случае понижения цены акции к началу следующего периода
Сb-выплата по опциону в случае повышения цены акции к началу следующего периода
Исходя из рассматриваемой модели цена акции к началу следующего периода может
либо понизиться до S(1+a) , либо повыситься до S(1+b)
По определению Европейского колл-опциона продавец опциона должен выплатить
покупателю
                  Сa=max(0,S(1+a)-K))          (2.1)                  
в случае понижения цены акции
                   или Сb=max(0,S(1+b)-K))   (2.2)                   
в случае повышения цены акции
Пусть С-цена Европейского колл-опциона , тогда продавец опциона должен таким
образом сформировать портфель
                          X0=bB+gS,    (2.3)                          
чтобы на начало следующего периода иметь возможность осуществить следующие
выплаты
                  Сa=b(1+r)B+g(1+a)S,          (2.4)                  
в случае понижения цены и
                  Сb=b(1+r)B+g(1+b)S,          (2.5)                  
в случае повышения цены
Решая систему уравнений
                  Сa=b(1+r)B+g(1+a)S,          (2.6)                  
                         Сb=b(1+r)B+g(1+b)S,                         
Получим следующие значения g и b
               (2.7) 
          (2.8)     
Подставляя полученные значения в (2.3) получим
            (2.9)   
Цена колл-опциона C должна равняться цене портфеля X0 иначе
существует возможность получения арбитражной прибыли.
Таким образом цена Европейского колл-опциона для одного периода определяется
по формуле
             (2.10)  
А значения g и b для формирования портфеля по формулам (2.8) и (2.9)
соответственно.
3.Расчет стоимости и хеджирующей стратегии для нескольких периодов
Европейского колл-опциона.
Используем полученные в п.2 результаты для определения цены Европейского
колл-опциона для нескольких периодов
Рассмотрим двухпериодный вариант
Пусть
S-текущая цена акции
С-цена колл-опциона
К-цена исполнения опциона
r-безрисковый процент
Сaa-выплата по опциону в случае понижения цены акции по окончании
второго периода при понизившейся цене по окончании первого периода
Сbb-выплата по опциону в случае повышения цены акции по окончании
второго периода при повысившейся цене по окончании первого периода
Сba-выплата по опциону в случае понижения цены акции по окончании
второго периода при повысившейся цене по окончании первого периода
Сab-выплата по опциону в случае повышения цены акции по окончании
второго периода при понизившейся цене по окончании первого периода
Платежи по колл-опционам составят
Сaa=max(0,S(1+a)(1+a)-K)
Сab=max(0,S(1+a)(1+b)-K)
Сba=max(0,S(1+b)(1+a)-K)
Сbb=max(0,S(1+b)(1+b)-K)
Для расчета цены колл-опциона воспользуемся формулой 2.10
             (2.11)  
Где Сa выразим через Сaa и Сab , а Сb через Сbb и Сba.
          (2.12)     
          (2.13)     
Подставим полученные значения в (2.11)
     
     
     
                                     (2.14)                                     
Упрощая выражение (2.14) получаем следующее значение цены колл-опциона
     
     
                 (2.15)
или если подставить значения выплат по опционам
     
     
     
                                     (2.16)                                     
Если провести аналогичные вычисления для трех периодов Европейского колл-
опциона то получим следующее выражение:
     
     
     
                                     (2.17)                                     
Используя метод математической индукции для n периодов получим следующее
значение для цены Европейского колл-опциона.
     
     
              (2.18)
Если для полученной формулы ввести обозначение
     ,    (2.19)     
то видно , что формула (2.17) для расчета цены Европейского колл-опциона
совпадает со значением цены Евопейского колл-опциона опубликованном в статье
Ширяева А.Н. “К теории расчетов опционов Европейского и Американского типов,
I: Дискретное время.-Теория вероятности и ее применение 1994 , т.39, в.1,с80-
129.