Каталог :: Экономико-математическое моделирование

Контрольная: Контрольная работа

     МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
     Томский государственный университет систем управления
     и радиоэлектроники (ТУСУР)
                                                               Кафедра Экономики
                            Контрольная работа                            
               по дисциплине “Математические модели в Экономике ”               
                                   Вариант №18                                   
                                                                       Выполнил:
                                                               Студент  гр. з822
                                                    ________ Васенин П.К.
                                                                      Проверила:
                                                  ________ Сидоренко М.Г.
                                  г. Томск 2003                                  
     Задание №1
1.      Объём выпуска продукции Y зависит от количества вложенного труда x
как функция
     . Цена продукции v,
зарплата p. Другие издержки не учитываются. Найти оптимальное количество
вложенного труда.
     Решение:
Оптимальное количество вложенного труда обозначим через X*
Определим прибыль 
Воспользуемся соотношением  
- т.е. частные производные приравняем к нулю, найдём оптимальное количество
вложенного труда
     
     
     
     Задание №2
2.      Даны зависимости спроса D=200-2p и предложения S=100+3p от цены.
Найдите равновесную
цену, цену при которой выручка максимальна и эту максимальную выручку.
     Решение:
Равновесная цена находится путём приравиевания спроса и предложения, т.е.
200-2p=100+3p; p*=20 – равновесная цена.
Найдём прибыль при равновесной цене:
     
Найдём цену, определяющую максимум выручки:
     
При p*(200-2p) максимум достигается в точке p’=50 (определили через производную)
W (50)=50*(200-2*50)=5000
Таким образом, максимальная выручка W(p’)=5000 достигается не при равновесной
цене.
     Задание №3
3.      Найти решение матричной игры (оптимальные стратегии и цену игры) .
     Решение:
     1- способ. Проверим на наличие седловой точки. Седловая точка является
одновременно наименьшим элементом строки и наибольшим элементом столбца. В
матрице седловой точки нет.
     
     
      Выигрыш первого есть случайная величина с рядом распределения:
     
Найдём средний выигрыш за партию Первого – это математическое ожидание
случайной величины W(x,y):
     
Оптимальные стратегии игроков:
     
     2 – способ. Если решить эту игру как матричные игры двух игроков с
нулевой суммой, то для игры с матрицей  
оптимальные смешанные для 1 и 2 игроков и цена игры получаются из решения
уравнений:
     
     
     
Откуда, Оптимальные стратегии игроков:
     
     Задание №4
4.      Для трехотраслевой экономической системы заданы матрица коэффициентов
прямых материальных затрат  
и вектор конечной продукции 
. Найти коэффициенты полных материальных затрат двумя способами (с помощью
формул обращения невыраженных матриц и приближённо), заполнить схему
межотраслевого баланса.
     Решение:
I.            Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат
приближённо, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.
Матрица косвенных затрат первого порядка:
     
     
     
Матрица косвенных затрат второго порядка:
     
     
     
Получаем матрицу коэффициентов полных материальных затрат (приближённо):
     
II.            Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат с
помощью формул обращения невыраженных матриц:
a)      Находим матрицу (E-A):
     
b)      Вычисляем определитель этой матрицы:
     
c)      Транспонируем матрицу (E-A):
     
d)      Находим алгебраические дополнение для элемента матрицы (E-A)’:
     
     
     
Таким образом:
     
e)      Находим матрицу коэффициентов полных материальных затрат:
     
Таким образом, расчёты первым и вторым способом получились разные – это
произошло из-за того, что второй способ наиболее точен (рассчитан по точным
формулам), а первый способ рассчитан приближённо, без учёта косвенных затрат
выше второго порядка.
Для заполнения межотраслевого баланса необходимо найти величину валовой
продукции:
     
     
     
Схема межотраслевого баланса
     

Производящие

отрасли

Потребляющие отрасли

1

2

3

Конечная продукция

Валовая продукция

1

2

3

2574,67

1839,05

0

464,32

232,16

232,16

0

0

3328,64

640

250

600

3678,1

2321,6

4160,8

Условно чистая продукция

-735,62

1392,96

832,16

1490

Валовая продукция

3678,1

2321,6

4160,8

10160,5

Задание №5 5. Проверить ряд на наличие выбросов методом Ирвина, сгладить методом простой скользящеё средней с интервалом сглаживания 3, методом экспоненциального сглаживания (а=0,1), представить результаты графически, определить для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель), дайте точечный и интервальный прогноз на три шага вперёд. Решение: a) Проверим ряд на наличие выбросов методом Ирвина. Метод Ирвина Служит для выявления аномальных уровней, т.е. – это отдельное значение временного ряда которое не отвечает потенциальным возможностям исследуемой экономической системы и которое, оставаясь в качестве значения уровня ряда, оказывает существенное влияние на значение основных характеристик временного ряда, и на трендовую модель. Для выявления аномальных уровней воспользуемся формулой: Расчётные значения:
t12345678910

-1,060,531,060,530,530,530,531,060,53
Необходимо, расчётные значения сравнить с табличными критерия Ирвина , и если окажется, что расчётное больше табличного, то соответствующее значение уровня ряда считается аномальным. Табличные значения для уровня значимости a=0,05, т.е. с 5% ошибкой:
n2310203050100

2,82,31,51,31,21,11
Таким образом, при сравнении значений, обнаруживаем, что аномальных уровней нет, т.е. . b) Сгладим методом простой скользящей средней с интервалом сглаживания m=3:
t

Метод простой скользящей средней,

153--
251--
35252
45452,3
55553,6
65655
75555,3
85455
95655
105755,6
c) Сгладим экспоненциальным методом с а=0,1 – параметр сглаживания:
t

Экспоненциальный метод,

15352,1
25151,99
35251,99
45452,19
55552,47
65652,82
75553,04
85453,14
95653,42
105753,78
d) Представим результаты графически: e) Определим для ряда трендовую модель в виде полинома первой степени (линейную модель): Необходимо оценить адекватность и точность построения модели, т.е. необходимо выполнение следующих условий: a) Проверка случайности колебаний уровней остаточной последовательности: Проверку случайности уровней ряда проведем по критерию пиков, должно выполняться:
t

Фактическое

Расчётное

Отклонение

Точки пиков

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

53

51

52

54

55

56

55

54

56

57

51,97

52,49

53

53,52

54,03

54,55

55,06

55,58

56,09

56,61

1,03

-1,49

-1

0,48

0,97

1,45

-0,06

-1,58

-0,09

0,39

--

1

0

0

0

1

0

1

0

--

55543542,90,13
b) Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения: Необходимые условия: Если эти условия выполняются одновременно, то гипотеза о характере распределения случайной компоненты принимается, если выполняется хотя бы одно из следующих неравенств: то гипотеза о нормальном распределении отвергается, трендовая модель признаётся неадекватной. 1) 2) Таким образом, одно из неравенств не выполняется, трендовая модель неадекватна, значит, дальнейшее исследование не имеет смысла. Задание №6 6. Пункт по приёму квартир работает в режиме отказа и состоит из двух бригад. Интенсивность потока , производительность пункта . Определить вероятность того, что оба канала свободны, один канал занят, оба канала заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускную способности, среднее число занятых бригад. Решение: Коэффициент использования (количество заявок, поступающих за время использования одной заявки) a) Вероятность того, что оба канала свободны: b) Вероятность того, что один канала занят: c) Вероятность того, что оба канала заняты: d) Вероятность отказа в заявке: e) Относительная пропускная способность: f) Абсолютная пропускная способность: g) Среднее число занятых бригад: